Amacımız üç boyutlu Euler denklemlerini türetmek, bu formüller gaz mekaniğini hesaplayabilir. Bu formülasyon için yapılan bazı faraziyeler: gazın çalkantılı (unsteady), sıkıştırılabilir, ideal akışkan / ağdasız (inviscid), sıcaklık iletmeyen, birörnek maddeden oluşan, kimyasal reaksion içermeyen ve gövde kuvvetlerine maruz olmayan (yerçekimi gibi) bir ortam olduğu. Bu faraziye bizi tam tekmilli Navier-Stokes denklemlerinden daha basitleştirilmiş Euler denklemlerine getiriyor.
Gövde kuvvetlerini yok saydık, eğer yerçekimi ya da dışarıdan başka bir kuvvet mevcut olsaydı bu terimlerin formülün sağ tarafına eklenmesi gerekirdi, fakat onları yok sayınca tek hesaba katılması gereken basınç kuvvetidir. Bu önemli bir basitleştirmedir ve formülün nihai yalın formuna ulaşılması için önemli bir tekniktir.
Formülasyonu gerçekleştirmek için kullanacağımız önemli bir kavram ufak kontrol hacmi kavramı. Uzayda sabitleştirilmiş boyutları \(\ud x, \ud y, \ud z\) olan kenarları dikdörtgensel olan bir kutu (box) hayal edelim, bu kutunun hacmi tabii ki \(dV=\ud x \ud y \ud z\) olur. Dikkat, burada anahtar kelime sabitlenmiş. Sıvı bu sabit kutunun içinden akıyor, kutunun kendisi hareket etmiyor.
Sıvının (gazın) her noktasındaki büyüklükler şunlar,
Ulaşmak istediğimiz bir muhafaza kanunu olacak, bu sebeple içinden sıvının geçtiği sabitlenmiş bir hacim seçtik, ve bu hacim içinde muhafazasını garanti edeceğimiz büyüklükler \(\rho,\rho u,\rho v,\rho w,\rho E\) olacak. Bunlar nedir,
Dikkat \(E\) büyüklüğü toplam spesifik enerji, birimi birim kütledeki (mass) toplam enerji, \(E=\frac{\text{energy}}{\text{mass}}\),
\[ E=\frac{J}{kg} =\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg} =\frac{m^2}{s^2}. \]
Metre ve saniye ile enerji bağlantısı ne olabilir diye düşünülürse kinetik enerji hatırlanabilir, birim kütledeki kinetik enerji terimleri şöyle olurdu,
\[ \frac{1}{2}v^2 \implies \left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \]
\(\rho E\)’ye dönersek, \(\rho\) birim hacimdeki kütle olduğuna göre yani \(\rho=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\), o zaman \(\rho\) ve \(E\) çarpılınca
\[ \rho E = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m^3}} \]
Kütle Muhafazası
Fiziksel prensibi hatırlayalım, evrende kütle yeniden yaratılmaz ve kaybolmaz. Bu prensip sebebiyle ufak kutumuza giren çıkan kütleleri hesaba katmamız gerekir (dikkat kutu içindeki kütlenin muhafazasından bahsedilmiyor), kutu sınırlarından giren ve çıkan kütle o kutudaki kütle miktarını artırır ya da azaltır. Yani artan, azalan, giren, her miktarların muhasebesi yapılmalıdır.
\[ \text{kutu içindeki kütle artış oranı} = \text{kutuya giren kütle oranı} - \text{çıkan kütle oranı}. \]
Ya da
\[ \text{kütle artış oranı} + \text{net kütle çıkış oranı} = 0 \]
Ufak kutumuzun içindeki kütle,
\[ \ud m=\rho \ud x \ud y \ud z \]
Bu kütlenin artış oranı için eşitliğin sağ tarafının zamana göre kısmi türevini alabiliriz,
\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} \ud x \ud y \ud z. \]
Şimdi üsttekinin neye eşit olduğuna / onun tanımına gelelim. Bu tanım daha önce belirttiğimiz gibi kutuya giren ve çıkan kütle oranlarının farkını kullanacak. Hesabı şöyle yapabiliriz. Önce \(x\) tarafına bakan dikdörtgeni alalım, alanı \(\ud y \ud z\) olsun, oradan akan kütle oranını hesaplayabiliriz. Bu yüzeye dikgen / normal olan akış \(u\) ile gösteriliyor, çünkü akış hız vektörünün bileşenlerini daha önce göstermiştik, \(V=(u,v,w)\), işte \(u\) buradaki \(u\). Bu hızı temel alalım, \(\ud t\) zamanı sonunda \(u \ud t\) kadar kütle akmıştır diyebiliriz.
O akmış olan kütlenin hacmini de hesaplayabiliriz, \(\ud V = u \ud t \ud y \ud z\), kütlesi \(\ud m = \rho \ud V\), yani \(dm = \rho u \ud t \ud y \ud z\). Simdi her seyi \(\ud t\) ile bölersek, \(\frac{\ud m}{\ud t} = \rho u \ud y \ud z\) elde ederiz, işte bu \(\ud y \ud z\) alanından akan kütle akış oranıdır. Bu yuzdeki akisa, sola bakan yuz diyebiliriz,
\[ (\rho u)_x \ud y \ud z \tag{2} \]
ismi verelim. Şimdi kutunun diğer yüzeyinden olan akışa bakalım, üstteki \(x\) noktasındaydı, şimdi \(x+\ud x\) noktasındaki yüzeye bakalım, bu da sağdaki yüz olabilir, oradaki akış için \((\rho u)_x\) ifadesini kullanarak Taylor açılımı yapabiliriz,
\[ (\rho u)_{x+\ud x} = (\rho u)_x + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\ud x. \]
Yani \(f(x+dx)\) gibi bir ifade kullanmak yerine \(f(x)\) içeren ve onun yersel (spatial) türevini içeren bir formül kullanmak daha iyi oldu, cebiri basitleştirdi. Matematiksel olarak Taylor açılımı kullanmak uydundur çünkü \(\ud x \to 0\) olduğu bir ortamda işleyecek bir diferansiyel denklem türetiyorum, ve bu sebeple Taylor açılımındaki daha yüksek dereceli terimleri yok sayabiliyorum.
Devam edelim, o zaman sağ yüzde akış,
\[ \left[ (\rho u)_x + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\ud x \right] \ud y \ud z \tag{3} \]
Demek ki \(x\) yönündeki net akış (2) eksi (3) ile hesaplanabilir,
\[ \left[ (\rho u)_x\,dy\,dz + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\ud x \ud y \ud z \right] - (\rho u)_x \ud y \ud z \]
\[ = \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} \ud x \ud y \ud z. \]
Benzer mantığı \(y\) yönü için kullanırsak,
\[ \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} \ud x \ud y \ud z \]
\(z\) yönü için de
\[ \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} \ud x \ud y \ud z \]
Şimdi nihai formüle gelelim, eğer net pozitif bir akış var ise bu birim hacimimizden kütle çıkışı var demektir [1, sf. 55], bu bir azalmayı temsil eder. Formülü o zaman şu şekilde oluşturmalıyız,
\[ \frac{\partial\rho}{\partial t}\ud x \ud y \ud z = - \frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\ud x \ud y \ud z - \frac{\partial(\rho v)}{\partial y}\ud x \ud y \ud z - \frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\ud x \ud y \ud z \]
\(\ud x \ud y \ud z\) ile bölersek, ve tüm terimleri bir tarafa alırsak,
\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} =0. \]
Üstteki ifadeyi uzaklaşım (divergence) operatörü ile göstermek daha yalın formül verebilir,
\[ \textrm{div} (\rho\mathbf V) = \nabla\cdot(\rho\mathbf V) = \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z}, \]
Yani
\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf V) =0. \]
[devam edecek]
Kaynaklar
[1] Anderson, Computational Fluid Dynamics, The Basics With Applications