Sıvı ve Gaz Mekaniği

Önce bazı terimler. Bir mol (mole) terimi mesela, mol önceden belirli bir molekül sayısıdır. Tutarlı olması için herkesin kabul ettiği bir sayı, özel bir temel parçacığa bağlanmış, bir mol 12 gramlık karbon-12 içindeki atom sayısı [2, sf. 550]. Mole molekül sayısı aynı zamanda ünlü Avagadro sabitidir, \(N_A\) ile gösterilir,

Yani bir mol içinde üstteki kadar molekül var. Bir materyal içinde kaç mol var hesabı için \(n = N / N_A\) kullanabiliriz, \(N\) tüm molekül sayısı, \(N_A\) bir mol içindeki molekül sayısı, bölüm bize istenen sonucu verir.

Peki mikro etkileşimlerden yola çıkarak basınç kavramını türetebilir miyiz acaba? 19’uncu yüzyıl sonlarına doğru bu başarıldı. Basıncın gaz moleküllerinin bir yüzeye çarpmasından ortaya çıktığını hatırlayalım. Bu kuvvet tabii ki Newton kanunundan hareketle,

Hız \(v\)’ye molekül içinde olduğu kabın / yüzey duvarına çarptığında ona dik olan hız diyelim [1]. Bu türevi hesaplamak için, ki birim zamanda hız değişimi gerekiyor, kenarları \(L\) uzunluğunda bir küp içinde tek bir gaz molekül olduğunu düşünelim.

Basitleştirme amacıyla diyelim ki bu molekül sürekli küp kutu içinde ileri geri gidip geliyor, bir duvara çarpınca bir süre sonra geri geliyor. Bu molekül bir duvara çarptığında \(v\) hızında çarptığında (yani \(mv\) momentumuyla) elastik olarak geri sekecektir, ve \(-v\) ile tam ters yöne geri gitmeye başlayacaktır.

O zaman her çarpışma için hız değişimi \(2v\), momentum değişimi ise \(2mv\) olur.

Tabii aslında eğer daha genel formülize etmek gerekirse bu çarpışma sırasında \(\bar{v}\) hızının duvara dik olan bileşeni \(v_x\)’yi düşünüyoruz.

Birim zaman \(\Delta t\)’ye bir molekün iki çarpışma arasında geçen zaman dersek, ve \(v_x\) hızında \(2L\) yol katedilmişse, \(\Delta t = 2 L / v_x\) demektir, ve

\[ F = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2 m v_x}{2 L / v_x} = \frac{m v_x^2}{L} \]

Basınç birim alana uygulanan kuvvettir, ve küpün bir kenarının \(L^2\) alanında olduğunu düşünürsek,

Birden fazla molekülü düşünmek istiyoruz şimdi, mesela bir averaj üzerinden.. Fakat her molekül hem negatif hem pozitif yönde aşağı yukarı aynı miktarda hareket yapar (rasgele hareket olduğu için) ve bu tür bir hareket üzerinden averaj almak bizi sıfır değerine götürür. Bu sebeple ortalamasını almadan önce hızların karesini almak istiyoruz,

\[ \bar{v^2} = \frac{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_N^2 }{N} = \frac{\sum_i v_i^2}{N} \]

ve ortalama değeri bulmak için \(\sqrt{\bar{v^2}}\) kullanıyoruz. Bu hesaba kök kare ortalaması (root mean square -RMS-) ismi de verilir. Şimdi tüm \(N\) moleküller üzerinden bir basınç hesaplamak istersek, \(N\) tane molekül, ama belli bir anda sadece Kartezyen kordinat sisteminde sadece üç yönden sadece biri yönünde etki var, o zaman \(N\) ile çarpıp 3’e bölmek lazım,

Bu formül içinde bir kinetik enerji formülasyonu görülebiliyor, averaj kinetik enerjiye \(\epsilon = m \bar{v^2} / 2\) dersek, üstteki formülü

Eğer bu formülü sıcaklık içerek şekilde değiştirmek istiyorsak; biliyoruz ki sisteme eklenen her Joule enerji ve bir derece sıcaklık değişimi arasındaki ilişkiyi \(k\) sabiti kontrol eder [5, 29-16] bu sabit \(k = 1.38 x 10^{23}\) Joule / Kelvin’dir, o zaman enerjiden sıcaklığa geçiş için \(kT\) kullanabiliriz, hatta bir \(3/2\) eklenerek üstteki 2/3 iptali amaçlanır,

Devam edelim, \(n = N / N_A\) olduğunu da biliyoruz ki \(N_A = 6.02 x 10^{23}\), Avagadro’nun sayısı, \(n\) örneklemdeki mol sayısı, \(N\) ise örneklemdeki tüm moleküller [2, sf. 550],

Tabii bu bizi \(R\) denen bir diğer sabite götürüyor, \(R = 8.31 J/mol \cdot K\). Onun \(k\) ve \(N_A\) ile ilişkisi şöyle,

ki \(m\) gazın kütlesi, \(w_m\) ise moleküler ağırlık. Bunları birbirine bölünce doğal olarak mol sayısı ortaya çıkar, \(n\)’yi iki üstteki formüle koyunca,

\(m/V\) yoğunluk, ona \(\rho\) diyebiliriz, \(R / w_m\) ise evrensel gaz sabiti \(R\)’nin gazın moleküler ağırlığına bölünmüş hali, ona yeni bir sabit \(R_m\) diyebiliriz, o zaman daha öz

Daha önce görmüştük, tek atomun ortalama hareketsel kinetik enerjisi sıcaklığa bağlıydı, ona daha önce \(\epsilon\) demiştik, şimdi \(K_{avg}\) diyelim, ki \(K_{avg} = 3/2 k T\). O zaman, ve \(n\) mol miktarında bir örneklemin içinde \(n N_A\) molekül olacağı için, örneklemin iç enerjisi \(E_{int}\) şöyle hesaplanabilir [2, sf. 564],

Bir gazın sıcaklık artışına tekabül eden ısı enerjisi (girdisi) faydalı olabilecek bir büyüklüktür, fakat aynı sıcaklık değişimine giden ayrı yollar, farklı ısı hesaplarına sebep verebilir. Değişimin en çok ortaya çıkan iki versiyonu için farklı bir mol spesifik ısı öne sürmek daha iyi olur, bunlardan biri basınç sabit tutulduğu durumdaki, diğeri de hacim sabit tutulduğu durumdaki mol spesifik ısı.

Üstteki \(C_V\) sabit hacimdeki mol spesifik ısı, \(C_P\) sabit basınçtaki.

Bu denklem tüm ideal gazlar için geçerlidir, ideal gaz derken molekülünde birden fazla atom olan gazlar için.

Basınç sabit tutulduğu durumdaki molar spesifik ısıdan hareket ederek bir ilginç formüle daha ulaşabiliriz; Bu durumda ideal gazın sıcaklığını daha önce olduğu gibi ufak \(\Delta T\) kadar arttırdığımızı düşünüyoruz, fakat şimdi eklenen enerji hem gazın sıcaklığını arttıracak, hem de iş yapacak, altta görülen pistonu üste itmek gibi (çünkü basınç sabit dedik, hacim sabit demedik).

Erişmek istediğimiz hem \(C_P\) hem \(C_V\) içeren bir formül bulmak, o zaman Termodinamiğin İlk Kanunu ile başlayalım,

\(E_{int}\) bir materyelin iç ısısı, ve sadece materyelin o anki iç konumuna bağlı (sıcaklığı, basıncı ve hacmi). \(Q\) değişkeni sistemin çevresindekilerle yaptığı ısı alışverisini temsil ediyor, artı değerler materyel ısı çekiyor, negatif ısı veriyor demektir. \(W\) ise sistemin yaptığı iş (work). Eğer sistem genişliyorsa mesela iş yapılıyordur, genişleme ya da daralma yoksa \(W=0\).

Üstteki formül içine bildiğimiz diğer formülleri koyabiliriz, mesela (1)’i sokarsak,

Yapılan iş \(W\) hesaplamak için üstteki resmi düşünelim, alt bölmedeki gaz pistonu yukarı doğru iterek iş yapabilir. Bu işin pistonu \(\vec{F}\) kuvvetiyle ve \(\mathrm{d} \vec{s}\) kadar sonsuz ufak bir değişime uğrattığını düşünelim. Bu değişim çok ufak olduğu için \(\vec{F}\)’nin o değişim sırasında sabit olduğunu farz edebiliriz [2, sf. 529]. Bir diğer çıkarsama \(\vec{F}\)’nin \(p A\)’ya eşit olduğu - basınç \(p\) kuvvet bölü alan \(A\) ise aynı \(p\) ile \(A\)’yi çarparsak kuvvete geri geliriz. Diferansiyel yapılan iş

\[ \mathrm{d} W = \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{s} = (pA) (\mathrm{d} s) = p (A \mathrm{d} s) \]

O zaman \(V_i\) ile \(V_f\) hacim değişimleri arasında yapılan iş üstteki formülün entegralidir,

Bu hesabın detaylarına şimdi girmeyeceğiz, ama baktığımız sabit hacim durumu için üstteki hesap daha basitleşiyor, \(W = p \Delta V\). Ayrıca ideal gaz kanunu \(pV = n R T\) olduğu için \(p \Delta V = n R \Delta T\) de yazılabilir, o zaman \(p \Delta V\) yerine \(n R \Delta T\) kullanmak mümkün, (5)’e sokarsak,

oranıdır. Bu oran, politropik (polytrophic) gazlar denen, sabit hacimdeki durumun enerjisinin hesaplamak için faydalı. Tek bir mol için

ile başlarsak, ve \(T = p / R\rho\) formülünü \(T\)’ye sokunca [3, sf. 295],

Gruplamayı bu şekilde yaptık çünkü birazdan \(C_V/R\) yerine başka bir formül bulacağız. Devam edelim (3)’ten hareketle \(\gamma C_V = C_P\) diyebiliriz. Bu formülü \(C_P\) için (4)’ye koyalım,

\[ \gamma C_V - C_V = R \implies C_V(\gamma-1) = R \implies \frac{C_V}{R} = \frac{1}{\gamma-1} \]

Bu form politropik ideal gazların konum formülü (equation of state for an ideal polytropic gas) olarak biliniyor.

Farklı noktalarda boyutları farklı olan bir tüp içinde istikrarlı akış içindeki bir sıvının \(v\) ve \(A\) ifadelerini birbiriyle ilintilendiren bir formül kurmak istiyoruz. Bir \(t\) zamanından başlayarak \(\Delta t\) kadar süre içindeki tüpün solunda oluşan hacim ve bu hacmi dışarı itmesi gereken, eğer sıvı sıkıştırılamaz ise, sağda eşit bir hacim vardır. Soldan \(\Delta V\) girmişse sağdan \(\Delta V\) çıkmalıdır.

olarak ta yazabiliriz, çünkü süreklilik denklemi herhangi iki nokta için doğru olmalıdır, o zaman üstteki ifade de geçerlidir. \(R_V\)’ye hacim akış oranı denir.

Ek olarak sıvının yoğunluğu her yerde eşit ise, mesela \(\rho\) diyelim, o zaman

İstikrarlı akış halindeki bir sıvıyı düşünelim, alttaki resimdeki gibi yandan görülen bir tüpte / boruda akıyor. Diyelim ki 1. resim ile 2. resim arasında geçen zaman \(\Delta t\) ve o zaman içinde koyu mavi olan bölüm kadar sıvı hacmi yer değiştiriyor [8, sf 402].

Bu değişimin tüp sonunda yeşil bölge kadar hacim değişikliğine yol açar diyelim, ve önemli bir nokta iki hacim birbirine eşittir. Eğer 1. resimdeki sıvının girişteki yükseklik, hız, ve basıncı \(y_1,v_1,p_1\) ile temsil ediliyorsa, 2. resimde diğer uçtaki \(y_2,v_2,p_2\) diyelim, bu değişkenler

\[ p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g y_1 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g y_2 \tag{1} \]

formülü ile birbiriyle bağlıdır, ki \(\rho\) sıvı yoğunluk sabiti. Üstteki denklemi

olarak ta yazabiliriz. Bu son formül Bernoulli’nin formülüdür, onun daha yaygın bilinen formudur.

Yapılan iş kinetik enerjideki değişime eşittir. Sıvı için kinetik enerji değişimi sıvının tüp başında ve sonundaki hızı ile alakalı olmalıdır [9, sf. 403],

ki \(\Delta m\) tüpün başında \(\Delta t\) anında içeri giren sıvı kütlesi. Onu \(\Delta m = \rho \Delta V\) olarak ta yazabiliriz ki \(\Delta V\) aynı zaman aralığında giren sıvı hacmi.

Şimdi basıncı dahil edelim, bu da bir kuvvet, tüpün başında pozitif iş yapıyor, sonunda içerideki tüm sıvının kütlesi üzerinden ters yönde iş yapıyor, genel olarak

denebilir, o zaman baştaki iş \(p_1 \Delta V\), sondaki iş \(p_2 \Delta V\), toplam

Yerçekimin yaptığı iş negatiftir, \(W_g\) diyelim, kuvvet çarpı yer değişikliği. Kuvvet \(\Delta m g\), yer değişikliği \(y_2-y_1\).

Hepsini bir araya koyarsak, yapılan iş eşittir kinetik enerji değişimi üzerinden,

\[ -\rho g \Delta V(y_2-y_1) - \Delta V(p_2-p_1) = \frac{1}{2} \rho \Delta V(v_2^2 - v_1^2) \]

Tekrar düzenlersek (1)’e erisebiliriz. (2) denklemi (1)’e bakmanın bir diğer yönü, çünkü aslında (2) diyor ki basınç \(P\) artı kinetik enerji \(\frac{1}{2} \rho v^2\) artı yerçekimsel potansiyel enerji yoğunluğu \(\rho g y\)’yi tüp akışındaki herhangi iki noktada hesaplarsak birbirlerine eşit olmalılar. O zaman, \(p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g y\) formülü her noktada aynı olacağına göre bu ifadenin bir sabite eşit olduğu da söylenebiliyor. Yani

oluyor. Diğer bir yönden bakarsak, üstteki formüle bir enerji denklemi de denebilir. Tüm formülü \(\rho\) ile bölersek,

Buradaki \(p / \rho\) basınç enerjisi, \(\frac{1}{2}v^2\) kinetik enerji, \(gy\) ise potansiyel enerji. Bir sıvı (ya da aerodinamik durumunda hava) ögesi, parçacığı bir tüpte akarken toplam enerjisinin muhafaza eder.

Bir hava taşıtının etrafından akan hava durumunda öğelerin dikey yer değişimi genellikle çok küçüktür o zaman yok sayılabilirler, bu durumda Bernoulli denklemi

formuna indirgenebilir [7, sf 97]. \(\frac{1}{2}\rho v^2\) terimine dinamik basınç (dynamic pressure) ismi de veriliyor, bu terim birim hacimdeki ve \(\rho\) yoğunluğundaki havaya \(v\)’ye hızlandırılınca eklenen kinetik enerjiyi temsil ediyor.

Aerodinamikte bazı öğeleri tekil boyutsuz sayılara indirgemek faydalı olabiliyor. Mesela eğer bir kanat kesidi (airfoil) etrafındaki havanın kesite nasıl basınç uyguladığına bakıyorsak, basınç katsayısı \(C_p\) burada faydalı olabiliyor, örnek için [9], \(C_p\)’yi şöyle tanımlıyoruz,

ki \(p_\infty\) incelenen parçanın dışında kalan havanın normal basıncı, \(v_\infty\) hızı, \(\rho_\infty\) ise o havanın yoğunluğu.

Denkleme yakından bakarsak olabilecek en az \(v=0\) ile \(C_p\)’nin olabileceği en büyük değer 1’dir. Akışın olmadığı noktaları tıkanıklık bölgeleri (stagnation point) ismi verilir. Akışın \(p < p_\infty\) bölgelerinde ise \(C_p\) negatif olacaktır.

Bir helikopterin pervanesi dönerken üstteki hava parçacıklarını alıp aşağı doğru iter. Olanları sanki bir tüp içinde sıvı akışıymış gibi görebiliriz, ama ufak bir fark var, altta dikey çizgiyle gösterilen (yandan bakış) pervane sıvıya, daha doğrusu havaya bir enerji ekler.

Bu sebeple bir enerji hesabı yapmak istiyorsak Bernoulli denklemini iki bölgeye ayrı ayrı uygulamamız gerekir. Pervane öncesi, ve sonrası [8, sf. 66].

Değişkenlerin ne olduğunu açıklamak gerekirse pervane diskine girmeden önce hava heryerde birörnek \(V\) hızında ve \(p_0\) basıncına sahip. Diske yaklaştığında hava \(V_0\) hızına getiriliyor ve basıncı \(p_1\)’e düşüyor. Disk üzerinde onun uyguladığı enerji ile basınç \(p_2\)’ye arttırılıyor ama süreklilik bağlamında hızının çok fazla artışı mümkün değil. Disk arkasında, tüpün ikinci bölümünde hava genişliyor, basınç \(p_0\)’ye dönüyor, bu noktada hızı \(V_s\).

\[ \left(p_2 + \frac{1}{2} \rho V_0^2 \right) - \left(p_1 + \frac{1}{2} \rho V_0^2 \right) = \left(p_0 + \frac{1}{2} \rho V_s^2 \right) - \left(p_0 + \frac{1}{2} \rho V^2 \right) \]

Devam edelim, daha önce (3)’te gördük ki, eğer alan için \(S\), hız için \(V_0\) kullanırsak,

Momentum kütle çarpı hızdır, momentum artışı ise diske giren kütle artış oranı çarpı hız olarak temsil edilebilir, o zaman biraz önce gördüğümüz \(V_s-V\) hız artışının ima ettiği momentum artışı üstteki eşitliğin sol tarafında \(R_m (V_s - V)\). Tüm formüle uygulayınca

Üstteki eşitliğin sol tarafına itiş kuvveti (thrust) de denebilir. Yani \(T\),

olur. Değişik bir açıdan bakarsak itiş \(T\) diskin iki tarafındaki basınç farkından da hesaplanabilir, basınç çarpı alan eşittir kuvvet üzerinden,

Şimdi (4)’e dönelim. Eğer (4)’daki ifadeyi üstteki formüle \(p_2-p_1\)’den sokarsak, ve her iki \(T\)’yi birbirine eşitlersek,

\(W\) ağırlığındaki bir helikopterin askıda kalması için ne kadar güç gerekir? Bir helikopterin askıda kalması için onun ağırlığına eş büyüklükte bir itiş kuvveti olmalı. 1’inci itiş formülünden hareketle

Hareket ettirilen hava hızı \(V = 0\) olacak, pervane alanı dışında kalan havanın hızını yok sayıyoruz.

Şimdi uygulananması gereken gücü düşünelim, güç tanımı birim zamandaki enerji aktarımıdır. Enerji nedir? Üstteki durumda enerji kinetik enerjidir. Birim zamanda hız pervane dışında \(V\), enerji ise \(\frac{1}{2}V^2\), pervane enerji eklemesi sonucu \(\frac{1}{2} V_s^2\). Yani enerji eklemesi \(1/2(V_s^2 - V^2)\). Birim zamandaki kütle farkı \(R_m = \rho S V_0\) demiştik, hepsini bir araya koyarsak,

Bu formül birim zamandaki havanın kinetik enerjisindeki artışı gösteriyor, yani uygulanacak güç \(P\)’yi gösteriyor. Basitleştirelim, \(V=0\) olacak, \(V_s = 2 V_0\), alan \(S=A\),

ki \(\rho\) standart deniz seviyesi hava yoğunluğu. Demek ki diske uygulanması gereken güç budur.

Dikkat; üstteki hesaplar uygulanan gücün tamamının pervaneye aktarılabildiğini varsayıyor. Pratikte bu doğru olmayabilir, pervane şekli, ve diğer sebeplerden uygulanan güçte kayıp olabilir. Hesaplar idealize ortamdaki hesaplardır yani, kabaca akıl yürütmek için faydalıdır. İyi bir başlangıç noktası olacaklardır.

Bir helikopter düşünelim, ağırlığı \(W = 24000\) Newton olsun, disk alanı \(A = 176.7\) \(m^2\). Deniz seviyesi hava yoğunluğu \(\rho = 1.226\) \(kg \cdot m^{-3}\) üzerinden helikopteri havada tutmak için gereken güç nedir?

rho0 = 1.226
W = 24000
A = 176.7
print ( np.sqrt( W**3 / (2 * rho0 * A)  ), 'Watt'  )

Birimlerin doğru olduğunu kontrol edebilirsiniz. Newton \(kg \cdot m \cdot s^{-2}\), Joule \(kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}\). Üstteki hesaplar \(kg \cdot m \cdot s^{-3}\) verecek, yani Joule / saniye, yani enerji bölü saniye ki bu da Watt tanımı.

Ufak bir helikopter düşünelim, ağırlığı \(W = 1.22\) kg olsun, disk alanı \(A = 0.18\) \(m^2\). Helikopteri havada tutmak için gereken güç nedir?

Dikkat kg verildi, ama Newton lazım, önce \(9.8 m \cdot s^{-2}\) ile çarpmak gerekli.

rho0 = 1.226
W = 1.22*9.8
A = 0.18
print ( np.sqrt( W**3 / (2 * rho0 * A)  )  )

100 kg yükü 3 \(m\) pervane yarıçapı ile taşımak için ne kadar güç gerekir?

rho0 = 1.226
W = 100 * 9.8
r = 3.0
A = np.pi * r**2
print ( np.sqrt( W**3 / (2 * rho0 * A)  ), 'Watt'  )

Euler ve Lagrange bakış açısı arasındaki farklarla başlayalım. Bu iki bakış açısı bir sıvının dinamiğini nasıl incelediğimiz ile alakalı. Eğer bir nehirdeki kirlilik yoğunluğunu ölçüyorsak mesela, bunu herhangi bir \(x,y,z\) noktasında yapabiliriz, ve diyelim ki kirlilik belli bir yerde hiç değişmiyor, ertesi gün gelsek aynı yerde aynı ölçümü alıyoruz [11, sf 78]. Bu yere bağımlı Euler açısı.

Fakat farklı yerlerde farklı ölçümler olabilir, mesela nehir boyunca bir kayık içinde sabit hızda gidersek yoğunluk lineer oranda artıyor. Bu durumda pir paket sıvıyı takip ettiğimizi düşünebiliriz, o paketin açısından elde edilen ölçümler Lagrange bakış açısıdır.

İki bakış açısı arasında gidip gelmenin yolu materyel türev. Böylece Euler bazındaki değişim kullanılarak Lagrange tarifi yapılabiliyor. Bu önemli çünkü ölçümler çoğunlukla Euler formatında düşünülür (bir yerde duran ölçüm aleti idare etmesi ve temsili daha rahat bir kavramdır), ayrıca matematik Euler ortamında biraz daha kolay manipüle edilebilir hale geliyor [12].

Lagrange ile bir parçacık hayal ediyoruz, onu tanımlamanın bir yolu \(t=0\) anında nerede olduğu. Daha sonra bu başlangıç noktasındaki sıvı paketinin hangi yolu takip ettiğini \(\bar{r}(t)\) ile tarif ediyoruz, ki \(\bar{r}(t)\) parametrik bir eğri olarak alabiliriz, \(r = ( x(t), y(t), z(t) )\). Eğer bir başlangıç noktasını \(a\) olarak tanımlarsak bu başlangıcın ve yol denkleminin bir parçacığı tarif ettiğini düşünebiliriz,

Herhangi bir ölçümü alalım [13], biraz önce kirlilik örneği verdik, bu sıcaklık ta olabilirdi, ölçüm \(F(t,x,y,z)\) olsun, \(t\) anında ve \(x,y,z\) noktasında yapılan ölçüm, bu ölçüme Calculus’un Zincirleme Kuralını uygularsak, değişim oranını materyel türev \(D F / Dt\)’yi nasıl elde edebileceğimizi görebiliriz,

\[ \frac{D F}{D t} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} \]

\((\frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial t},\frac{\partial z}{\partial t})\) hız olarak görülebilir, ona \(\bar{u} = (u,v,w)\) vektörü diyelim,

\[ \frac{D F}{D t} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} u + \frac{\partial F}{\partial y} v + \frac{\partial F}{\partial z} w \]

Ayrica \((\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})\) gradyan vektoru \(\nabla F\),

Burada \(\frac{\partial F}{\partial t}\) ölçülen \(F\)’nin tek, sabit bir yerde zamana göre değişimidir. Bu terime yapılan ekler hareket halindeki parçanın ek olarak göreceği ölçüm değişim oranı olacaktır.

\[ \frac{D ()}{D t} = \frac{\partial () }{\partial t} + \bar{u} \cdot \nabla () \]

Şimdi ilginç bir noktaya geldik, süreklilik denklemi (1)’i, \(\rho\) ölçümü üzerinde materyel türev uygulanmış formu olarak görmek mümkün,

İlginç bir diğer bakış açısı Anderson kitabından [16, sf. 43]. Hız \(x,y,z\) noktasında \(t\) anındaki \(u,v,w\) hız vektörü

Ufak sıvı hacimlerine bakıyoruz, ve \(t_1\) anında 1 noktasındaki öğenin yoğunluğu

Daha sonraki bir \(t_2\) anında aynı sıvı öğesi 2 noktasına gitti diyelim, bu noktada yoğunluk

Şimdi 1 noktası etrafında 2 noktasına doğru bir Taylor açılımı yapabiliriz, yüksek dereceli diğer terimler (high-order terms) HOT ile belirterek,

\[ \rho_2 = \rho_1 + \left( \frac{\partial \rho}{\partial x} \right)_1 (x_2-x_1) + \left( \frac{\partial \rho}{\partial y} \right)_1 (y_2-y_1) + \left( \frac{\partial \rho}{\partial z} \right)_1 (z_2-z_1) + \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} \right)_1 (t_2-t_1) + HOT \]

\(\rho_1\) terimini sol tarafa geçirip her sey \(t_2-t_1\) ile bolersek ve HOT’yi yoksayarsak,

\[ \frac{\rho_2-\rho_1}{t_2-t_1} = \left( \frac{\partial \rho}{\partial x} \right)_1 \frac{(x_2-x_1)}{t_2-t_1} + \left( \frac{\partial \rho}{\partial y} \right)_1 \frac{(y_2-y_1)}{t_2-t_1} + \left( \frac{\partial \rho}{\partial z} \right)_1 \frac{(z_2-z_1)}{t_2-t_1} + \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} \right)_1 \tag{3} \]

Eşitliğin sol tarafına dikkat edersek bu sıvının 1 noktasından 2 noktasına giderken deneyimlediği zamanda ortalama değişim değil midir? Limite giderken yani \(t_2\) zamanı \(t_1\)’e sonsuz yaklaştırılırken,

ki burada \(D\rho/D t\) sembolü yoğunluğun 1 noktasından geçerken yaşadığı anlık değişimdir.

Yaygın adlandırma kuralları bu sembole maddi, materyel türev (substantial derivative) \(D/Dt\) adını verir. Dikkat edelim \(D\rho/Dt\) yoğunluğun sıvı öğesi hareket ederken zamana göre değişim oranıdır. Gözlerimiz o sıvı paketine kitlenmiş durumdadır, onu izlemekteyiz, ve 1 noktasında geçerken onun yoğunluğunun değişimini raporlamak istiyoruz. Bu rapor \((\partial \rho / \partial t)_1\)’den farklı, burada sabit 1 noktasındaki yoğunluğun zamana göre değişim oranını raporluyoruz. Bu durumda gözler 1 noktasına kitlenmiş durumda, sadece orada olup bitenlerle ilgileniyoruz.

o zaman (3) denkleminin tamamını \(t_2 \to t_1\) ile limite götürdüğümüzde

\[ \frac{D\rho}{D t} = u \frac{\partial \rho}{\partial x} + v \frac{\partial \rho}{\partial y} + w \frac{\partial \rho}{\partial z} + \frac{\partial \rho}{\partial t} \]

ifadesini elde ederiz. Bu ifadeyi genelleştirerek bir operatör haline de getirebiliriz,

\[ \frac{D}{D t} = u \frac{\partial }{\partial x} + v \frac{\partial }{\partial y} + w \frac{\partial }{\partial z} + \frac{\partial \rho}{\partial t} \]

Sıvı ve Gaz Mekaniği - 1