Kafadan Hesap

Kafadan zor hesapları yapabilmek aslında süper zeka gerektirmiyor. Matematiksel bazı numaralar ile çok zor bazı hesapları ya kesin, ya da yaklaşıksal olarak yapmak mümkün. Dizilerde ve filmlerde bazen yanlış bir şekilde bilimci kişiler mesela $\pi$ sayısını "noktadan sonra 50. basamağa kadar" bilmekle övünüyor, ya da çok ağır hesapları sanki kafasında bilgisayar varmış gibi yapıyorlar. Hesap için kafada bilgisayara gerek yok, matematiksel geçişler, çok iyi bilinen formüller yeterli. Mesela [1, sf. 186]'dan bir örnek,

"[Ünlü bilim adamları Bethe ve Feynman] birbirleriyle hesap yarışı yapmaktan zevk alırlardı. Bir defasında bir formül üzerinde çalışırlarken 48'in karesini hesaplamaları gerekti. Feynman masada duran hesap makinasına uzandı, tam o sırada Bethe 'çözüm 2300' dedi. Ama Feynman tuşlara basmaya devam etti, bir yanda 'tam sonucu bilmek istemiyor musun?' dedi. Bethe tam o sırada 'tam sonuç 2304' der. '50'ye yakın sayıların karesini almayı bilmiyor musun?' diye sorar, ve numarayı açıklar. 50'nin karesi 2500, bu basit. 50'den biraz büyük ya da küçük sayılar için sonuç 2500'den birkaç 100 daha küçük ya da büyüktür, 48 sayısı 50'den 2 küçük olduğu için $48^2$ 2500'den 200 küçüktür, ve 2300'e geliriz. Nihai doğru sonuç için bir düzeltme terimi 4 ekleriz ve 2304'e erişiriz"

Gerçi kitabın kendisi de tam numarayı göstermemiş. Numara karesel formül ile alakalı. Karesel formülü lise matematiğinden biliyoruz,

$$ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $$

Şimdi, eğer $48$ karesine erişmek istersek, onu yukarıdaki formülde $x=50,y=2$ olarak belirtiriz, böylece eşitliğin sol tarafı $x-y = 48$ olur. Bunun güzel tarafı şimdi eşitliğin sağındaki açılım su hale gelir,

$$ = 50^2 - 2(50)(2) + 2^2 $$

Yani basit toplamlar ve çarpımlar bunlar. Bu hesapları artık kafadan yapmak çok kolay, $2500 - 200 + 4$. Yani 2304.

Not: Benzer numarayı $(x+y)^2$ kullanarak ta yapabiliriz, mesela 43'ün karesini almak için, ve $(40+3)^2$ açılımıni kullanırız, $x^2+2xy+y^2$ içinde sayıları yerine koyunca yine basit çarpımlar, toplamlar elde ederiz.

Karekök Hesabı

66'nin karekökunu nasıl hızlı şekilde hesaplarız? Yine üstteki durumda olduğu gibi bir matematiksel geçiş ile basit işlemleri elde etmeye uğraşırız. Tek terimli Taylor Açılım

$$ f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x $$

Eğer karekök işlemi üzerinde tek terimli Taylor Açılımı yaparsak,

$$ \sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}} $$

elde ederiz. Şimdi 66'yi karekökünü bildiğimiz bir sayı artı başka bir şey olarak temsil etmeye uğraşalım, mesela 64+2 olabilir bu, çünkü 64'un karekökünü biliyoruz,

$$ \sqrt{66} = \sqrt{64 + 2} \approx \sqrt{64} + \frac{2}{2\sqrt{64}} = 8 + \frac{1}{8} = 8.125 $$

Kaynaklar

[1] Gleick, Genius

[2] Mahajan, Street Fighting Mathematics

[3] Stack Exchange, {\em Mental Math: Finding Square Roots to 1 Decimal Point}, http://math.stackexchange.com/a/469440/6786