Fourier Serileri
Ünlü matematikçi Fourier şunu keşfetmişti; periyodik olan bir fonksiyon F(x) sinüs ve cosinüs terimlerinin toplamı olarak temsil edilebilir.
\[ F(x) = a_o + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos nx + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin nx \]
Bu fonksiyonda a ve b sayı değerlerinin bilinmesi gerekmektedir. Onları nasıl buluruz?
\(a_k\) değerlerini bulmak için iki tarafı \(\cos kx\) ile çarpıp \(\int_{-\pi}^{\pi}\) ile entegralini alırsak,
\[ \int_{-\pi}^{\pi} F(x)\cos kx \mathrm{d} x = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \cos kx \mathrm{d} x + \sum_{n=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi} a_n \cos nx \cos kx \mathrm{d} x + \]
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi} a_n \sin nx \cos kx \mathrm{d} x \]
Eşitliğin sağ tarafında birinci terim \(\cos(kx)\), \(\sin(kx)\)'e dönüşür. Fakat sinüs fonksiyonu \(\pi\) ve \(-\pi\) noktalarında (ya da onların k ile çarpılmış \(2\pi\), \(-2\pi\), vs. gibi katlarında) sıfır değerine sahip olduğu için, bu terim tamamen sıfır olacaktır, formülden atılabilir.
İkinci terimde \(\cos(nx)\cos(kx)\)'in üstteki gibi entegrali eğer k ve n eşit değilse, sıfırdır. Sadece n ve k eşit ise \(a_k(\cos kx)^2\) değeri elde edilir. \((\cos kx)^2\)'in ise üstteki şekilde entegrali \(\pi\) sonucunu verir. Yani ikinci terimde olan, o sonsuza kadar giden koca toplam içinde sadece tek bir terim sağ kalabilir.
Üçüncü terimde \(\sin nx \cos kx\) çarpımının entegrali her zaman sıfır değerini döndürür. Bu terim de formülden atılır. Geri kalanları tekrar düzenlersek,
\[ a_k = \int_{-\pi}^{\pi} F(x)\cos kx \mathrm{d} x \]
sonucunu elde ederiz. \(b_k\) için benzer işlemler, ama bu sefer \(\sin kx\) ile çarpılarak yapılırsa ve sonuç aşağı yukarı aynı.
\[ b_k = \int_{-\pi}^{\pi} F(x)\sin kx \mathrm{d} x \]
\(a_0\) için ise, \(\cos kx\) ya da \(\sin kx\) ile çarpmaya gerek yok. Sadece iki tarafın entegralini almak yeterli, \(a_o\)'i istediğimiz için \(n=0\) demektir, o zaman \(\sin, \cos\) içeren hiçbir terime ihtiyaç yoktur.
\[ \int_{-\pi}^{\pi} F(x) \mathrm{d} x = \int_{-\pi}^{\pi} a_o \mathrm{d} x \] \[ = a_o x \ \bigg|_{-\pi}^{\pi} \] \[ = a_0 (\pi -(-\pi)) \] \[ = 2\pi a_0 \]
Yani
\[ a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x) \mathrm{d} x \]
Kompleks Sayıları Kullanmak
\(a_o\), \(a_n\) ve \(b_n\) yerine tek bir \(c_n\) turu sayı kullanmak istersek, kompleks sayı sistemine geçmek lazım. O zaman ilk \(F(x)\) formülünü de dönüştürmemiz lazım.
Trigonometrik fonksiyonlarda bilinen iki eşitlik şöyledir:
\[ \cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \]
\[ \sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \]
Bu formülde \(i\) değeri hayali sayı olarak bilinen \(\sqrt{-1}\) değeridir.
\(F(x)\) formülünü üstteki trigonometrik eşitliklere göre dönüştürelim.
\[ F(x) = .. + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos nx + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin nx \]
\[ = .. + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}\\ \]
\[ = .. + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_ne^{inx}}{2} + \frac{a_ne^{-inx}}{2} + \frac{b_ne^{inx}}{2i} - \frac{b_ne^{-inx}}{2i} \]
\[ = .. + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_ne^{inx}}{2} + \frac{a_ne^{-inx}}{2} - \frac{i \ b_ne^{inx}}{2} + \frac{ \ b_ne^{-inx}}{2} \]
Benzer terimleri, yani \(e^{inx}\) ve \(e^{-inx}\) terimlerini beraber yazalım:
\[ = .. + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n-b_ni}{2}e^{inx} + \frac{a_n+b_ni}{2}e^{-inx} \]
Bölümde olan \(2i\) içindeki \(i\) nasıl yukarı çıkabildi? Bu durum, hayali sayıların bir özelliğiyle alakalı: \(1/i = -i\). Böylece ikinci ve dördüncü terimdeki artı ve eksi işaretleri değişmiş oldu. Daha kısa yazmak için
\[ c_{-n} = \frac{a_n + b_n}{2} \]
\[ c_{n} = \frac{a_n - b_n}{2} \]
olarak temsil edersek
\[F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{inx} \]
Üstteki \(c_{-n}\) ve \(c_n\) kullanımı bize ek bir avantaj sağlıyor: \(-inx\) ibaresindeki eksi değeri de çekip çıkartabiliyoruz, eksi değer \(i\)'den alınıp \(n\)'ye veriliyor yani, ve eksilik toplamdaki alt sınır olarak tanımlanıyor. Nasıl olsa final formülde \(i\) ve \(n\) çarpıldığı için sonuç değişmiyecek, ve tek bir terim kullanabileceğiz. Ek olarak \(a_0\) ise \(c_o\) haline geldi.
Üstteki entegralli tekniğin benzerini \(c_n\) için de kullanabiliriz. Eşitliğin sağ tarafındaki kısım üstteki formülde \(\Sigma\) toplamının açılmış halini kullanalım, ve iki tarafı da \(e^{-ikx}\) ile çarpalım, sonra \(-\pi\) ve \(\pi\) arasında entegralini alalım:
\[ \int_{-\pi}^{\pi}F(x)e^{-ikx}\mathrm{d} x = \int_{-\pi}^{\pi}c_0e^{-ikx}\mathrm{d} x + \]
\[ \int_{-\pi}^{\pi}c_1e^{ix}e^{-ikx}\mathrm{d} x + ... + \]
\[ \int_{-\pi}^{\pi}c_ke^{ikx}e^{-ikx}\mathrm{d} x + ... \]
Toplamdaki tüm terimleri göstermedik, önemli olan kısım zaten k'inci terim, yani \(e^{-ikx}\) ile çarpılan \(e^{ikx}\) ifadesi. Bu çarpım basit bir cebirsel işlemle \(e^{-ikx}e^{ikx} = e^{-ikx + ikx} = e^{0} = 1\), yani bir değerine eşit. Diğer tüm terimler eğer entegrali hesaplarsak görebileceğimiz gibi sıfıra eşit. Bir değerinin \(-\pi\) ve \(\pi\) arasında entegrali \(2\pi\).
O zaman
\[ 2\pi c_k = \int_{-\pi}^{\pi}F(x)e^{-ikx}\mathrm{d} x \]
\[ c_k = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)e^{-ikx}\mathrm{d} x \]
Sıfıra eşitliğin nasıl olduğunu cebirsel olarak gösterelim. Entegrali alalım,
\[ \int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}e^{-ikx}\mathrm{d} x \]
\[ = \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n-k)x}\mathrm{d} x \]
\[ = \frac{e^{i(n-k)x}}{i(n-k)} \bigg|_{-\pi}^{\pi} \]
\[ = e^{in\pi}e^{-ik\pi} - e^{-in\pi}e^{ik\pi} = 0 \]
Fourier Transformu
Fourier transformu Fourier serilerinin özel bir şartı olarak türetilebilir [1]. Daha önce gördük ki
\[ x(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{jnw_0t} \qquad (1) \]
üstte \(i\) yerine \(j\) kullandık, \(\omega_0 = 2\pi / T\) ve \(T = 2\pi\). \(c_n\)'lerin (üstte \(c_k\)) nasıl hesaplandığını da görmüştük,
\[ c_n = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-jn\omega_0t} \mathrm{d} t \qquad (2) \]
Şimdi, \(T \to \infty\) olduğunu durumu düşünelim, bu durumda temel frekans \(\omega_0\) çok ufalacaktır, ve \(n\omega_0\) herhangi bir değere sahip olabilecek sürekli bir değişken haline gelir (çünkü \(n\)'nin menzili \(\pm \infty\)), o zaman yeni bir değişken \(w = n\omega_0\), ve \(X(w) = Tc_n\) olarak tanımlayabiliriz. Bunları önceki denkleme sokarsak Fourier Transform denklemini (ya da İleri Yönde Fourier Transformunu) elde ederiz,
\[ X(w) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-jwt} \mathrm{d} t\]
Ters Yönde Fourier Transform (Inverse Fourier Transform) için yine (1) ve (2) ile başlıyoruz, ve yanyana iki harmoniğin / frekansın arasındaki aralığı, mesafeyi düşünüyoruz [1], [2, sf. 223],
\[ \Delta \omega = (n+1) \omega_0 - n \omega_0 = \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \]
Şimdi (2)'yi (1) içine koyalım, ve \(1/T = \omega_0 / 2\pi\) üzerinden,
\[ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg[ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e ^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d} t \bigg] e ^{jn\omega_0 t} \]
\[ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg[ \frac{\Delta \omega}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e ^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d} t \bigg] e ^{jn\omega_0 t} \]
\[ = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg[ \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e ^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d} t \bigg] \Delta \omega e ^{jn\omega_0 t} \]
\(T \to \infty\) iken \(\Delta \omega\) yerine \(\omega_0\) kullanabiliriz, ve tüm ayrıksal frekanslar \(n\omega_0\) üzerinden alınan toplamı tüm frekanslar üzerinden alınan entegral ile değiştirebiliriz, \(n\omega_0\) yerine \(w\) koyarız, böylece bir ikili entegral elde ediyoruz,
\[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \bigg[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e ^{-j\omega t} \mathrm{d} t \bigg] e ^{j\omega t} \mathrm{d} \omega \]
İç entegrale bakarsak o kısmın Fourier transform olduğunu görebiliriz, dış entegral de Ters Yönde Fourier Transformu olacaktır, \(x(t)\)'den ileri gittik, sonra geri gittik, yine \(x(t)\)'nin kendisine geldik.
Kaynaklar
[1] Introduction to the Fourier Transform, http://lpsa.swarthmore.edu/Fourier/Xforms/FXformIntro.html
[2] Sadiku, Signals and Systems Primer with MATLAB