Ders 6

Kompleks Değişkenler (Complex Variables)

Kompleks sayılar içinde $i$ değerini içeren sayılardır, bu değer $\sqrt{-1}$'e eşittir, bu da hayali bir sayıdır.

$z=a+bi$ sayısının kompleks eşleniği (complex conjugate) artı işaretini eksiye çevirerek elde edilir, $\bar{z}=a-bi$. Bu iki sayının çarpımı, $z\bar{z} = a^2+b^2$ değeridir. Bu özellik bir kompleks sayıyı gerçek (real) sayıya çevirmek için kullanılan numaralardan biridir, ki bölme işleminde bu numara kullanılır.

Mesela

$$ \frac{2+i}{1-3i} $$

Bu bölümü gerçekleştirmek için bölümün üstünü ve altını bölenin kompleks eşleniği ile çarparız, böylece onu gerçek sayı haline getiririz.

$$ \frac{2+i}{1-3i} \cdot \frac{1+3i}{1+3i}$$

Not: Sağdaki çarpan faktör hem bölen hem bölünende aynı değeri taşıdığı için aslında 1 değerine sahip, yani bu değerle çarpım yapmak aslında sol taraftaki faktör üzerinde "büyüklük olarak" hiçbir değişim yaratmıyor.

$$ \frac{2+i}{1-3i} \cdot \frac{1+3i}{1+3i} = \frac{-1+7i}{10}$$

$a+bi$ formunda yazarsak

$$ \frac{-1}{10} + \frac{7}{10}i $$

Bu teknik çoğunlukla lisede öğretilir. Bir diğer kavram "kutupsal form (polar form)" kavramıdır, bu lisede öğretilebiliyor bazen, fakat öğretilen şey bizim ihtiyaçlarımızı açısından yeterince gelişmiş değil.

Kutupsal form bir kompleks sayının grafiksel gösterimi ile alakalı. Eğer x ekseni $a$ ise, y ekseni $b$ ise, o zaman bir $r$ çizgisi ve $\theta$ açısı üzerinden kutupsal forma geçilebilir. Buradan hareketle kompleks sayı şu şekilde de gösterilebilir.

$$ a+bi = r\cos(\theta) + ir\sin(\theta) $$

$$ = r (\cos(\theta) + i\sin(\theta)) $$

Tarihten bir anektod: bu formu bulan Euler bu noktada "parantez içindekine $e^{i\theta}$ diyeceğim" der. Niye? Pek çok bulgu, diğer matematik bu yönü gösteriyor gibiydi. Bu matematikte önemli buluşlardan biridir, ve her açıdan görmemiz, anlamamız iyi olur.

Bu eşitlik nasıl işliyor? Niye işliyor? Çünkü bazı önemli özelliklere sahip:

1. Üstel kanun (exponential law):

$$ a^x \cdot a^x = a^{x+y} $$

1. $e^{at}$, $dy/dt = ay$ diferansiyel denkleminin çözümüdür. Bu özgün (unique) çözüm değildir, ama bir başlangıç şartı ekleyerek onu özgün hale getirebiliriz, mesela $y(0)=1$ gibi.

2. $e^x$'in türevi yine kendisidir.

Yani

$$ e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

$$ \frac{d}{d\theta} e^{i\theta} = i e^{i\theta} $$

Şimdi bu kavramları kullanarak Euler formunu ispatlayalım.

Diyelim ki $\sin$, $\cos$ içeren eşitliği alıp üstteki çarpımın içine koyuyoruz.

$$ (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \cdot (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) = $$

$$
\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 + i(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_2\cos\theta_1 ) $$

Biraz karışık gibi duruyor fakat dikkat edersek, üstteki formülün gerçek sayı kısmı $\cos(\theta_1 + \theta_2)$'den ibaret (trigonometrik eşitliklerden biri). Kompleks kısmı ise $\sin(\theta_1 + \theta_2)$. O zaman elde ettiğimiz $$ \cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2) $$ yani $e^{i(\theta_1+\theta_2)}$'in açılımı!

$e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2}$'den ise başladık, bir eşitliği kullanarak, basitleştirdik, ve üstel kanunun söylediği aynı sonuca erişmiş olduk. Demek ki $\sin$ ve $\cos$ içeren eşitlik doğru bir eşitlik.

Şimdi türevi kullanarak aynı şeyi ispatlamaya uğraşalım.

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) $$

$e^{i\theta}$ nedir? Bir üstel fonksiyondur. Bu fonksiyona girdi olarak verilen bir gerçek sayıdır, dışarı çıkan ise bir kompleks sayıdır. Girdi $\theta$'dir, çıkan $e^{i\theta}$'dir.

$\theta$ yerine $t$ kullanarak açıklamaya devam edelim. Kompleks sonuç üreten bir fonksiyonu "kompleks değerli bir fonksiyon" ismi verilir. $t$ girdisi alan bir kompleks değerli fonksiyon şu genel formla temsil edilebilir.

$$ u(t) + iv(t) $$

$u$ yerine $\cos$, $v$ yerine $\sin$ olduğunu düşünebiliriz. Böyle bir fonksiyonun türevini nasi alırız? Her terimin teker teker türevini alarak. Türev işlemi olarak $D(..)$ kullanırsak,

$$ D(u+iv) = Du + iDv $$

O zaman şu türevi alalım ($\theta$ yerine $t$ kullanıyoruz)

$$ \frac{d}{dt}e^{it} = \frac{d}{dt}(\cos(t) + i\sin(t)) $$

$$ = -\sin(t) + i\cos(t) $$

$i$'yi dışarı çekelim

$$ = i \bigg( \cos(t) + i\sin(t) \bigg) $$

Bu neye eşittir? $ie^{it}$ değerine! Türevi aldık, $\sin, \cos$ eşitliğine atladık, ve türevi onun üzerinden hesapladık. Daha sonra basitleştirdiğimizde sonucun $e^{it}$'in bildiğimiz direk türevine aynen eşit olduğunu gördük! Bir ispat daha.

Başlangıç değerlerini düşünelim: $e^{i\cdot 0}$ neye eşittir?

Dikkat: Hemen $i \cdot 0 = 0$ ve $e$ üzeri $0$ eşittir 1 cevabını vermeyelim. Bu doğru sonuçtur ama tamamiyle doğru bir mantık zinciri değildir. Unutmayalım, $e^{i\theta}$'nin açılımı $\cos(\theta) + i\sin(\theta)$, O zaman

$$ e^{i \cdot 0} = \cos(0) + i\sin(0) $$

$\sin(0) = 0$ olduğuna göre

$$ e^{i \cdot 0} = 1 + i \cdot 0 $$

$$ = 1 + 0 = 1$$

Şimdi sonuç 1 diyebiliriz.

Kutupsal forma dönersek,

$$ e^{a+ib} = e^a \cdot e^{ib}$$

Yani kutupsal form olarak $re^{i\theta}$.

Bu sayının modülüsü (modulus) $r$'dir, argümanı $\theta$'dir denir. Modülüs için $|..|$ işareti, argümanı için $arg(..)$ kullanıldığı da oluyor.

Kutupsal formun avantajı nedir? Kompleks sayıların çarpılması sırasında çok işe yarar. Bu formda çalışıyorsak işlemler çok kolaylaşıyor ve sonuç çok temiz bir şekilde geliyor. Mesela

$$ r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

Gördüğümüz gibi hemen modülusları çarpıyoruz, argümanları (açıları) topluyoruz. Buna bakarak sonucun geometrik içeriği son derece açık. Eğer

$$ (a+bi)(c+di) $$

işlemini yapsaydık, karmakarışık sonuçlar elde edecektik.

Bazı Ekler

Bir kompleks sayı $a+ib$'yi aslında bir vektör gibi görmek faydalı olabilir. Vektör dünyasında mesela $a\vec{i} + b\vec{j}$ ifadesi vardır (dikkat bu $\vec{i}$ kompleks i değil), ve bu ifade de bir toplam olarak gösterilir. Düşünsel bir benzerlik var, bir eksende $a$ adımı atıyoruz, diğerinde $b$ adımı atıyoruz, ve gittiğimiz yer vektörel toplamın gösterdiği yer.

Buradan hareketle toplam vektörün işaret ettiği noktayı açısal olarak ta gösterebiliriz, ki kutupsal form buradan ileri geliyor. Eğer $3 + 4i$ varsa mesela (üstteki üçgene dikkat), $r$'nin 5 olduğunu hesaplayabiliriz, ve oradan kenarları bu tek uzunluğa referans ederek açısal olarak ta gösterebiliriz:

$$ z = 5(\cos\theta + i \sin\theta ) $$

Şimdi diğer bir yönden, Euler Eşitliği devreye girebilir. Bu eşitlik parantez içinin $e$'nin üstü olarak gösterilebileceğini söylemiştir! Böylece ifade daha basitleşiyor.

$$ z = 5e^{i\theta} $$

Dikkat edilecek bir nokta daha:

Derste bir kompleks sayının üstel olarak kullanılabileceği belirtildi, mesela $e^{a+ib}$ gibi, bu başka bir şey.

Üstel Form ve Calculus

Üstel formu kullanarak Calculus'taki bazı eşitlikleri hatırlamanın, türetmenin ne kadar kolay olduğuna bakalım şimdi. Mesela

$$ \int e^{-x}\cos(x) \mathrm{d} x $$

Bunu tabii ki parçalı entegral kullanarak çözebilirdik. Fakat parçalı entegrali iki kere kullanmamız gerekirdi, biraz giriftli bir işlem olurdu. Onun yerine kompleks sayıları hemen kullanalım.

Formüle bakalım ve formüldeki $\cos(x)$'i bir kompleks sayı olan $e^{ix}$'in $\cos(..)$ bölümü olarak görelim. O zaman $e^{-x}\cos(x)$ çarpımını $e^{-x}Re(e^{ix}) $ olarak görebiliriz. $Re$ tabiri bir kompleks sayının "reel bölümü" anlamına geliyor. Hatta $e^{-x}$ zaten reel bir sayı olduğuna göre $Re(e^{-x}e^{ix})$ sözünü de söyleyebiliriz. Entegral için işte bu mantığı yürütüyoruz.

$$ e^{-x}e^{ix} = e^{-x + ix} = Re(e^{(-1+i)x}) $$

$$ \int e^{-x}\cos(x) \mathrm{d} x = Re (\int e^{(-1+i)x} \mathrm{d} x) $$

Bu işleme "entegrali kompleksleşirmek" adı veriliyor, önümüzde olan tamamen reel sayılı bir formülü çözmek yerine, onu sanki kompleks bir sayının reel kısmıymış gibi görerek çözüyoruz. Bunu niye yapıyoruz? Çünkü üstel (exponential) bir sayıyı entegre etmek çok kolay!

$$ \int e^{(-1+i)x} \mathrm{d} x = \frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}$$

Bu formülün reel kısmını istiyoruz, onu nasıl elde ederiz? İşte kompleks sayıları bölebilme yeteneği şimdi faydalı olacak.

$$ \frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i} = \frac{1}{-1+i} e^{-x}(\cos(x) + i\sin(x))$$

Bölenin eşleniği (conjugate) $-1-i$, onunla bölen ve bölüneni çarpıyoruz.

$$ (-1+i)(-1-i) = 1-i^2-i+i = 1-(-1) = 1+1 = 2$$

Demek ki üstteki formül

$$ = \frac{-1-i}{2} e^{-x}(\cos(x) + i\sin(x)) $$

Bu formülün reel bölümü? $e^{-x}$ ve $1/2$ zaten reel çarpımlar olduğu için onları kenara alalım şimdilik. Sadece şu kısmın reel bölümünü bulmalıyız.

$$ = (-1-i)(\cos(x) + i\sin(x)) $$

Çarpımı yaparken $i$ içeren terimleri atlarsak, geriye kalanlar

$$ -\cos(x) + \sin(x) $$

Kenara aldığımız reel ifadeleri geriye getirirsek, entegralin sonucu

$$ \frac{e^{-x}}{2}(-\cos(x) + \sin(x)) $$

olacaktır.

Kompleks sistemine bu şekilde gelip gitmek ODE dünyasında önemli bir yetenek. Mesela $e^{x}$ ve $\cos$ yanyana görünce, hocanın aklına hemen kompleks sisteme gitmek geliyor.

Kompleks Kökleri Bulmak

Temel problem 1'in n'inci köklerini bulmaktır, yani $\sqrt[n]{1}$. Reel dünyada sonuç kaç tanedir? Bazen bir tane, 1'in kendisi, bazen 2 tane: sonucun kaç tane olduğu $n$'in çift mi tek mi sayı olduğuna göre değişir.

Kompleks dünyada sonuç $n$ tanedir. Bu cevaplar nerededir? Geometrik olarak bunu görmek kolay. Birim çemberi çizip mesela 5 parçaya bölelim:

$\alpha$ açısı nedir? Radyan olarak

$$ \alpha = \frac{2\pi}{5} $$

Geometrik olarak bariz bir şekilde bu noktalar aradığımız 5 tane 5'inci kök. Diyelim ki köklerden birincisi $\zeta$ noktasının 5 üstü nedir? Modülüs yani $r$ değeri 1, çember birim çember, bu normal, $\zeta$'yi yazalım:

$$ \zeta = e^{i\frac{2\pi}{5}} $$

O zaman

$$ \zeta^5 = (e^{i\frac{2\pi}{5}})^5 = e^{i\frac{2\pi}{5} \cdot 5} = e^{i2\pi} = 1 $$

Bu çember üzerinde $2\pi$ 0'a tekabül ediyor, bir tur atıp geri döndük.

Problemler 2, 6d

Bu problemde bir kompleks üstel sayının grafiklenmesi işleniyor. Görmek için MIT OCW ODE Mathlet sayfasından erişilebilecek "Complex Exponential" programına gidilmesi söyleniyor. Bu program bir Applet, biz programı Python ile tekrar kodladık. Programın alt kısmında görülen iki ayar ile değişik a ve b değerleri denenebiliyor. Sağdaki $e^{(a+bi)t}$'nin hesaplanabilmesi için şu açılımı kullandık:

$$ e^{(a+bi)t} = e^{at} e^{bit}$$

$$ = e^{at} (\cos(bt) + i\sin(bt) $$

$$ = e^{at}\cos(bt) + e^{at} i\sin(bt) $$

Reel kısmı (x ekseni) hesaplarken $e^{at}\cos(bt)$, hayali kısmı (y ekseni) hesaplarken $e^{at} i\sin(bt)$ formülündeki $i$ haricinde geri kalan terimleri hesaplıyoruz.

#
# MIT OCW ODE Mathlet Complex Exponentials replacement in 
# Python
#
from pylab import *
from matplotlib.widgets import Slider

ax = subplot(121)
subplots_adjust(left=0.1, bottom=0.25)
l1, = plot(None,None, lw=2, color='red')
axis([-1, 1, -8, 8])
title ('$(a + bi)t$', color='blue')
grid()

ax = subplot(122)
subplots_adjust(left=0.1, bottom=0.25)
l2, = plot(None,None, lw=2, color='red')
axis([-3, 3, -3, 3])
title ('$e^{(a + bi)t}$', color='blue')
grid()

axcolor = 'lightgoldenrodyellow'
axa = axes([0.15, 0.1, 0.65, 0.03], axisbg=axcolor)
axb  = axes([0.15, 0.15, 0.65, 0.03], axisbg=axcolor)

slidera = Slider(axa, 'a', -1.0, 1.0, valinit=0)
sliderb = Slider(axb, 'b', -8.0, 8.0, valinit=0)

def update(val):
    a = slidera.val
    b = sliderb.val
    t = arange(-1.0, 1.0, 0.001)
    l1.set_xdata(t)
    l1.set_ydata((b/a)*t)

    t = arange(-3.0, 3.0, 0.001)
    l2.set_xdata(exp(a*t)*cos(b*t))
    l2.set_ydata(exp(a*t)*sin(b*t))
    draw()

slidera.on_changed(update)
sliderb.on_changed(update)

plt.savefig('compexp.png')

Problemler 2, 7b

$\dot{z} + 3z = e^{2it}$ denkleminin $we^{2it}$ formunda çözümünü bul, ki bu formda $w$ bir kompleks sayıdır. Genel çözüm nedir?

Bu problem ders notlarında daha önce verilen $y' + ky = q_e(t)$ formuna benzer. Entegre edici faktör kullanarak çözebiliriz.

Entegre edici faktör: $e^{\int 3 \mathrm{d} t}$ = $e^{3t}$. İki tarafı da bu faktör ile çarpalım.

$$ \dot{z}e^{3t} + 3e^{3t}z = e^{2it}e^{3t} $$

$$ (ze^{3t})' = e^{(3+2i)t} $$

İki tarafın entegralini alırsak

$$ \int (ze^{3t})' = \int e^{(3+2i) t} $$

$$ ze^{3t} = \frac {e^{(3+2i)t}}{(3+2i)} + c$$

Bölende olan kompleksliği yukarı çıkarmak için kompleks eşleniği ile çarpma numarasını kullanalım.

$$ = \frac {e^{(3+2i)t}(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} + c$$

$$ = \frac {e^{(3+2i)t}(3-2i)}{13} + c$$

$$ z = \frac {e^{(3+2i)t}e^{3t}(3-2i)}{13} + c e^{-3t}$$

$$ z = \frac {(3-2i)}{13} e^{2it} + c e^{-3t}$$

Ekler

Euler Eşitliği

Bu yazımızda ilginç bir eşitlik olan Euler eşitliğini işleyeceğiz. Euler eşitliği şöyledir:

$$ e^{i \theta} = \cos \theta + i\sin \theta $$

i sayısı irrasyonel bir sayıdır ve değeri -1'in kareköküdür.

Euler eşitliği önemli bir eşitliktir. Bir yöntem, üstel (exponential) kanununu kullanmak. Bu kanun çok basit: $e^{a}e^{b} = e^{a+ b}$. Yani bazı aynı olan üstel sayıların çarpımında üstel bölümler toplanır. Şimdi ispatın devamında üstel kanununu kullanmadan, çarpımı değişik bir yönden yapalım ve toplama eşit çıkıp çıkmayacağına bakalım:

$$ e^{a}e^{b} = ( \cos(\cos(a) + \cos'(a)(x-a) + \frac{\cos"(a)}{2!}(x-a)^2 $$

$a=0$ için McLaurin serisi olur

$$ \cos(\theta) \approx \cos(0) + \sin(0)(\theta - 0) + \frac{-\cos(a)}{2!}(\theta - 0)^2 + ... $$

$$ \cos(\theta) = \frac{0 \cdot \theta}{1!} + \frac{-1 \cdot \theta^2}{2!} + \frac{-1 \cdot \theta^3}{3!} + .. $$

$$ \cos(\theta) = 1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!} + ..$$

Sin açılımı

$$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f"(a)}{2!}(x-a)^2 + ...$$

$$ \cos(0) = 1, \sin(0) = 0 $$

$$ \sin'(\theta) = \cos(\theta), \sin"(\theta) = -\sin(\theta) $$

$$ \sin"'(\theta) = -\cos(\theta), \sin"'(\theta) = \sin(\theta) $$

$$ \sin""(\theta) = \cos(\theta) $$

$$ \sin(\theta) = \sin(a) + \sin'(a)(x-a) + \frac{\sin"(a)}{2!}(x-a)^2 $$

$a = 0$ McLaurin serisi

$$ \sin(\theta) = \sin(0) - \cos(0)(\theta-0) + \frac{-\sin(0)}{2!}(\theta-0)^2 + \frac{-\cos(0)}{3!}(\theta-0)^3 + ... $$

$$ = 0 + \frac{1 \cdot \theta}{1!} + \frac{0 \cdot \theta^2}{2!} + \frac{-1 \cdot \theta^3}{3!} + ...$$

$$ = 0 + \frac{\theta}{1!} - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!}$$

$e^{\theta}$ açılımı:

$$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f"(a)}{2!}(x-a)^2 + ...$$

$$ e^0 = 1 $$

$e^\theta$'nin her dereceden türevi yine kendisi olacaktır. O zaman

$$ e^{\theta} = e^{a} + e^{a}(x-a) + \frac{e^{a}}{2!}(x-a)^2 + \frac{e^{a}}{3!}(x-a)^3 + ... $$

$a = 0$ McLaurin serisi

$$ e^{\theta} = e^{0} + e^{0}(\theta-0) + \frac{e^{0}}{2!}(\theta-0)^2 + \frac{e^{0}}{3!}(\theta-0)^3 + ... $$

$$ = 1 + \theta + \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + .. $$

Sin ve cos fonksiyonlarının açılımı alt alta konulunca şöyle gözükecek...

$$ \sin(\theta) \approx 0 + \frac{\theta}{1!} - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!}$$

$$ \cos(\theta) \approx 1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!} + ..$$

Hmm... Acaba bu iki açılımı toplarsak, $e^\theta$'nın tanımına yaklaşabilir miyiz? Deneyelim.

$$ \cos(\theta) + \sin(\theta) = 1+ \frac{\theta}{1!} + \frac{\theta}{2!} - \frac{\theta}{3!} - \frac{\theta}{4!} + \frac{\theta}{5!} + ..$$

Olmadı. Çünkü $e^\theta$'nın açılımı yukarıda görüldüğü gibi.

İşaretlerde uyumsuzluk var.

Bu noktada Euler'in yaptığı en büyük buluş, irrasyonel sayı olan i'yi bu karışıma koymaktır. İşaretleri tam uymayan önceki toplamın işaretlerinin eksi ve artı olma tekrarına bakarak, i sayısının üstlerinin yardımıyla sonuç denklemine daha yaklaşacağını düşünmüştür. Tekrarı (pattern) görmek, matematikçilerin ana yeteneklerinden biridir.

Devam edelim, $e^\theta$ yerine $e^{i \cdot \theta}$'yı McLaurin serisi kullanarak açarsak, şunu elde ederiz:

$$ e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} $$

$$ e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{-\theta^2}{2!} + \frac{-i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} $$

Bu son açılımın i içeren terimleri biraraya toplar, ve i'yi bunlardan dışarı çekersek

$$ e^{i\theta} = 1 + \frac{-\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} + ... i (\theta - \frac{-\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} + ... ) $$

Bu toplamın sol bölümündeki terimler $\cos$'un açılımı, öteki de (i hariç) sin'in açılımına benzemiyor mu? Evet.

O zaman ispatı tamamlamış olduk.