Ders 2

$$ x + 2y + z = 2 $$

$$ 3x + 8y + z = 12 $$

$$ 4y + z = 2 $$

Lineer sistem çözme zamanı geldi. Çözüm için mesela determinantları kullanmayacağız, bu konu ileride gelecek, ama eliminasyon metotu kullanacağız. Eliminasyon tüm yazılım paketlerinin kullandığı çözüm metotudur. Eğer başarıya ulaşırsa (ulaşamayabilir de) o zaman sonucu bulmuş olur, ki çoğunlukla da başarılı olur. $A$ matrisi iyi huylu ise, başarılı olur, ki üstteki örneğimiz öyle. Tabii biz eliminasyon uygularken kendimize bir yandan şunu soracağız - hangi şartlarda bu işlem başarısız olurdu? Bu soru öğretici olacak.

Eliminasyon aslında çok basit bir işlemdir, sınıfta olan sizler, bizler bile bu metotu bulabilirdik. Gauss buldu bu yöntemi tabii, çünkü bizden daha önce doğmuştu.

Eliminasyonu tarif ederken bu işlemleri matris operasyonları olarak göstereceğim [yani tüm matrise etki eden türden cebirsel işlemlerden bahsediyor hoca], çünkü dersimizdeki tüm temel fikirler, sözler, laflar olarak değil matris operasyonları olarak gösterilecek. Bir operasyon mesela bir matrisi çarpmak.

Üstteki örneğe gelelim: bu sisteme tekabül eden $A$ matrisi,

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] $$

Artık tüm işlemleri bu matris üzerinde yapabiliriz. İlk baştaki eşitlikler, artı, vs gibi semboller içeren sembollere bakmıyoruz bile. Eliminasyonun ihtiyacı olan tek şey artık üstteki $A$ matrisi.

Eliminasyon ne yapar? Mesela örnek bir işlem, 1. denklemi uygun bir sayıyla çarpmak, 2. satırdan çıkarmak. Amaç $x$'i dışarı atmak. Böylece denklemi ve bilinmeyenleri azaltmış olacağız. Çarpan ne olmalı?

$$ \left[\begin{array}{rrr} (1) & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] $$

1'inci satırda $x$ için verilen katsayı '1' sayısını kullanacağım. Matrisin o hücresini işaretledim, onu kullanacağımı belirtmek için. Lineer cebirde denir ki bu hücreyi 'pivot' olarak seçmiş oldum. Şimdi eliminasyon işlemini yapalım; pivot satırını 3 ile çarpıp ikinciden çıkartalım.

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] $$

Peki bu arada eşitliğin sağ tarafına, yani $b$'ye ne oldu? Değişimlerin ona da yapılması lazım, bazı yazılım paketleri mesela Matlab sağ tarafı sonradan değiştiriyor, ben de Matlab gibi olayım bari, değişimi sonradan yapayım.

Şimdiye kadar ne yaptık? 2,1 kordinatındaki sayıyı "temizlemiş" olduk, sıfır haline getirdik. Bundan sonra 3,1 kordinatına gidilecek, ama orası zaten sıfır halinde; yani işleme gerek yok.

Kalanlar nedir? Alttaki kısımdır,

$$ \left[\begin{array}{rrr} \dots & \dots & \dots \\ \dots & 2 & -2 \\ \dots & 4 & 1 \end{array}\right] $$

İki üstteki matriste tek bir $x$ haricinde tüm $x$'ler yokoldu, tek kalan 1. satırdaki $x$ işe zaten sonuç demektir. Üstteki durumda elimizde sadece iki tane denklem kalmış gibidir. Bundan sonrası özyineli (recursive) bir işlem, matris içinde daha ufak bir matris bulduk, oradan daha ufak başka bir matrise gidebiliriz, bu sırada çözümleri teker teker buluruz.

İkinci pivota ve onun satırına gidelim,

$$ \left[\begin{array}{rrr} (1) & 2 & 1 \\ 0 & (2) & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] $$

Bunu yapmamızın amacı 4,2 kordinatındaki '4' sayısını temizlemek. 2. satırı 2 ile çarpalım, 3. satırdan çıkartalım,

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right] $$

Bu matrise $U$ adını vereceğim, bu harfi kullandım çünkü üstteki matris bir "üst-üçgensel (uppertriangular)" matris. Eliminasyonun tüm amacı bu matrise ulaşmaktır. Daha genel bağlamda söylemek gerekirse bilimsel hesaplama dünyasının en temel, en yaygın işlemi üstte gördüğümüz, yaptığımız bu işlemdir. Pek çok kişinin "bu hesabı nasıl daha hızlı yaparım" diye düşünce sarfettiğini, uğraştığını görürsünüz, çünkü çok, çok gerekli bir iştir.

İşleme dönelim: pivot seçerken şunu eklemek lazım, sıfır pivot olsaydı o pivot olarak seçilmezdi. Üstteki durumda çıkmadı ama ortaya çıkabilirdi.

Bu arada, ileriki derslere biraz atlama yapmak gerekirse, eğer üstteki matrisin eğer determinantini hesaplamam gerekseydi pivotları alıp birbiriyle çarpmam yeterli olurdu.

Şimdi başarısızlık durumuna bakalım; üstteki işlem hangi koşullarda başarısız olurdu? Eğer 1,1 kordinatını pivot seçtiğim zaman orada bir sıfır olsaydı mesela.. Ne demiştik? Sıfır pivot olmaz. Peki bu durumda ne yaparım? Basit bir numara, satır değiş-tokuşu yaparım, mesela en üstteki satırı hemen altındaki ile değiş-tokuş yaparım, böylece sıfır artık çaprazda yer almaz, ve baktığım satırdaki pivot artık sıfır olmaz. Not: Bu arada bir matriste satır değişimi yapmanın denklem sistemi için hiçbir zararı yoktur, çünkü ne de olsa her satır ayrıdır, her satır ayrı bir denkleme tekabül eder. Denklemlerin hangi sırada yazıldığı önemli değil.

Fakat bazen kendimi kurtarmam mümkün olmayabilir, mesela eğer matris şu halde olsaydı,

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & -4 \end{array}\right] $$

eliminasyon yapa yapa sona gelirdik, ve çıkarma işleminden sonra $-4$ sıfır olurdu.

$$ \left[\begin{array}{rrr} \dots & \dots & \dots \\ \dots & 2 & -2 \\ \dots & 4 & 0 \end{array}\right] $$

Bu durumda kendimizi kurtaramazdık, çünkü altta değiş-tokuş yapacak satır bulamazdık. Böylece sıfır pivot durumu ortaya çıkardı, ve bu tersi alınamayan matris işareti olurdu.

Neyse; biz başarı durumundan devam edelim, artık tüm bilinmeyenleri bulmak için geride yerine koyma (backsubstitution) yapabiliriz. Matlab ne yapardı? Biz ne yaparız? Bir teknik, geride yerine koyma işlemine başlamadan önce $b$'yi alıp $A$'ya eklemlemek,

$$ \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{array}\right] $$

Bu bize eklemlenmiş (augmented) yeni bir matris verir. Böylece $A$ üzerinde yaptığım her işlemi otomatik olarak $b$ üzerinde yapmam kolaylaşır. Tüm çarpma-çıkarma işlemlerini eklemlenmiş matris üzerinde de uygularsam,

$$ \underbrace{ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5
\end{array}\right.}_{U} \underbrace{ \left. \begin{array}{r} 2\\ 6\\ -10 \end{array}\right]}_{c} $$

Burada $b$'nin dönüştüğü şeyi $c$ olarak belirttim. Yani $A$, $U$ oldu, $b$ $c$ oldu. Geriye koyma işlemini yapalım şimdi, ondan önce üstteki matrisin hangi denklem sistemine tekabül ettiğini yazalım,

$$ x + 2y + z = 2 $$

$$ 2y -2z = 6 $$

$$ 5z = -10 $$

Bu denklem sistemini çözmek artık çok kolay değil mi? İlk çözülecek denklem en sondaki, $5z = -10 \rightarrow z = -2$. Artık $z$'yi biliyorum, onu ikinci denklemde geride yerine koyarım (ki isim buradan geliyor, çünkü sondan geriye doğru gidiyoruz), ve $y = 1$ elde ederim, sonra oradan birinci denkleme atlarım, $x = 2$.

Bu gördüklerimiz bu dersin ilk kısmıydı. İkinci kısımda matris bakış açısını işleyeceğiz. Şimdiye kadar yaptığımız işlemleri matris cebiri ile nasıl gösterirdik? "Büyük resimden" bahsediyoruz burada, yani teker teker satır, hücre ile oynamaktan değil, tüm $A$'yi kullanan cebirsel operasyonlardan bahsediyoruz.

Çarpma işlemini hatırlarsak, ne demiştik, matrisi bir vektör ile çarpmak,

$$ \left[\begin{array}{rrr} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right] \left[\begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right] = 3 \times \textrm{ 1. kolon } + 4 \times \textrm{ 2. kolon } + 5 \times \textrm{ 3. kolon } $$

Şimdi benzer bir düşünce şeklini satırlar üzerinde gerçekleştirmek istiyorum. Niye? Çünkü şimdiye kadar gördüğümüz eliminasyon için gereken işlemler hep satır işlemleri. Acaba aynı matrisi soldan bir vektör ile çarpsak ne olur?

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 7 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right] = 1 \times \textrm{ 1. satır } + 2 \times \textrm{ 2. satır } + 7 \times \textrm{ 3. satır } $$

Boyut olarak $1 \times 3 \cdot 3 \times 3 = 1 \times 3$, yani vektör ile matrisi çarpınca bir vektör elde etmiş olduk, diğer bir deyişle "satırların lineer kombinasyonunu hesaplamış olduk".

Eliminasyon için gereken işlemleri, mesela 1. satırı 2. satırdan çıkarmayı nasıl üstteki gibi bir çarpma operasyonu ile temsil ederim? Mesela ilk yaptığımız işlem 1. satırı üç ile çarpıp 2. satırdan çıkartmak. Yani

$$ \left[\begin{array}{rrr} & & \\ & & \\ & & \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] $$

soldaki boş matris ne olmalı ki eşitliğin sağ tarafı doğru olsun ?

Boş matrisin ilk satırını düşünelim.. oraya ne gelsin? Eşitliğin sağına bakalım, 1. satır aslında değişmeden kalıyor. Bu ne demektir? Soldaki (dolu) matrisin 1. satırını olduğu gibi al demektir, ya da "satır kombinasyonu" dilinde belirtmek gerekirse, 1. satırdan bir tane 2. ve 3. satırlardan sıfır tane al demektir.

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ & & \\ & & \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] $$

Boş matrisin son satır nedir? Benzer mantık, bu sefer 1. ve 2. satırdan sıfır tane, 3. satırdan bir tane

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ & & \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] $$

İlginç bir durum oldu, üstteki boş matris birim matrise (identity matrix) benzemeye başladı, aslında hiçbir değişiklik yapmak istemeseydim, orta satırı $\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \end{array}\right]$ yapardım o zaman soldan çarpan matris birim matris olurdu. Birim matrisler basit aritmetikteki "1" sayısının eşdeğeridir, onunla yapılan çarpımın hiçbir etkisi yoktur.

Ama biz tabii ki değişiklik yapmak istiyoruz, eşitliğin sağındaki (ve değişik olan) 2. satıra ulaşmak istiyoruz.

Peki o zaman ortadaki satır ne olmalı? 1. satırı üçle çarpıp 2. satırdan çıkartmak ne demektir? 1. satırdan "-3 tane" alsam ve 2. satırdan "bir tane" alsam (3. satırdan hiç), ve birbirine eklesem istediğimi elde edebilir miyim? Evet. Yani

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] $$

Kontrol edelim; mesela eşitliğin sağındaki -2, eşitliğin solundaki 1. matrisin 2. satırı ile 2. matrisin 3. kolonunun noktasal çarpımıdır, ve hakiken bu çarpımı yapınca -2 elde ederiz. Bu arada gördüğünüz gibi çarpmaya değişik bir bakış daha getirmiş olduk, satırların kombinasyonunu gördük, kolonların kombinasyonunu gördük, şimdi de tek hücre değerini satır ve kolonun noktasal çarpımı olarak görmeyi öğrendik. Bu bakış açılarının hepsini bilmek ilerisi için faydalı.

Artık elimizde tüm eliminasyon işlemlerini pür matris operayonları olarak belirtmenin bir yolu var. Üstte eşitliğin solundaki 1. matrise "eliminasyon matrisi" ismi de verilir, diyelim ki ona $E$ sembolünü verdik, ve bu örnekte onu $E_{21}$ olarak belirtmek uygun olabilir, ki bu sembol eşitliğin sağında 2,1 kordinatında sıfır elde etmek için gereken matris.

2'inci adım için gereken $E$ nedir?

$$ \left[\begin{array}{rrr} & & \\ & & \\ & & \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right] $$

Bu adım için 2. satırı iki ile çarpıp 3. satırdan çıkartmıştık. Değişen sadece 3. satır olduğuna göre 1. ve 2. satır birim matrisin öğeleri olacak, sadece 3. satır dolu,

$$ \underbrace{ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array}\right] }_{E_{32} } \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right] $$

Eliminasyonunu tamamı için üstteki parçaları biraraya koymak lazım. $A$'yi soldan önce $E_{21}$ ile, o sonucu da $E_{32}$ ile çarpıyoruz. Yani

$$ E_{32} (E_{21}A) = U $$

Matris notasyonunu niye çok sevdiğimi anlıyorsunuz herhalde, üstteki ifade gayet temiz.

Şimdi lineer cebirde çarpımı operasyonu hakkında ilginç bir şey öğreneceğiz - üstteki caprim nihai sırası değişemez, fakat "parantezlerin yeri değişebilir". Yani $E_{32}$ ile $E_{21}$ matrislerini önce çarpıp, o sonucu sonra $A$ ile çarpabilirim.

$$ (E_{32} E_{21}) A = U $$

Bunun eliminasyon için faydası şurada, eliminasyon matrislerini birbiriyle çarpıp tek bir eliminasyon matrisi elde edebilirim.

Parantezlerin yerinin değişebilmesi durumuna daha matematiksel bir isim vermek gerekirse buna çağrışımsal kural (associative law) denebilir.

Bu kural lineer cebirde pek çok kez karşımıza çıkacak. Denebilir ki alanımızdaki pek çok adım, hatta pek çok gerçek (truth) parantezlerin yerini değiştirme tekniğiyle ilintilidir. Kuralın doğru olduğunu ispatlamak ta kolay değildir, matris çarpımının en ince detaylarına inip her iki turlu çarpımı yapmak ve aynı olduklarını göstermek gerekir.

Bir eliminasyon matris türü var, onu üstteki örnekte görmedik çünkü gerekmedi. Ama bazı durumlarda gerekebileceğinden bahsetmiştik, ki bu matris iki satırın yerini değiştiren bir eliminasyon matrisidir, ki bu matrislere "permutasyon matrisleri" ismi verilir. Mesela alttaki işlemi gerçekleştirecek matris,

$$ \left[\begin{array}{rr} & \\ & \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} c & d \\ a & b \end{array}\right] $$

Düşünelim, 1. satır için mesela, eğer 1. satırdan 0 tane, 2. satırdan sadece bir tane alırsam ve sonucu birbiri ile "toplarsam",

$$ \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ & \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} c & d \\ & \end{array}\right] $$

sonucunu elde etmez miyim? Evet. Geri kalanı da şöyle,

$$ \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} c & d \\ a & b \end{array}\right] $$

Burada 1. satırdan bir tane ikincidan sıfır tane almış oldum.

İşte soldan çarpan şey bir permutasyon matrisidir. Faydalı olabilecek güzel bir numara bu arada; herhangi bir permutasyon matrisini elde etmenin en kolay yolu bir birim matrisini almak ve olmasını istediğimiz değişimi onun üzerinde yapmaktır, ve elde edilen yeni matris istediğimiz permutasyon matrisi olacaktır.

Peki ya bir matrisin kolonlarının değiştirmek isteseydim ne yapardım? Eliminasyon için bu gerekli değil ama zihin egzersizi olarak soruyorum. Ondan önce bir diğer soru, bu matris ana matrisi soldan mı, sağdan mı çarpmalı?

Cevap, sağdan. Çünkü şimdi bize "kolonların kombinasyonu" lazım, ki kolonlar üzerinde "bir tane ondan sıfır tane bundan" diyebilelim, ve bunu çarpımda yapmanın tek yolu bir matrisi sağdan çarpmaktır, çünkü kolonların kombinasyonunu sağdan çarpım verir.

$$ \left[\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} & \\ & \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} b & a \\ d & c \end{array}\right] $$

Yine aynı şekilde, 1. kolon için soldaki 1. kolondan sıfır tane, 2. kolondan bir tane lazımdır,

$$ \left[\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} 0 & \\ 1 & \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} b & \\ d & \end{array}\right] $$

Değil mi? Tamamlarsak,

$$ \left[\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} b & a \\ d & c \end{array}\right] $$

Bu da birim matrisin kolonlarının yer değiştirmiş halidir.

Neyse, satır işlemlerine dönersek, eliminasyon matrislerini elde ediyoruz, ve biraraya koyuyoruz. Fakat matris çarpımı hakkında önemli bir not düşelim, parantezin yeri değişebilir ama çarpım sırası değişemez,

$$ A \cdot B \ne B \cdot A $$

Terimsel olarak sırabağımlılık (commutative) kanun geçerli değil (çağrışımsal kanun geçerli).

Pekala, eliminasyon matrislerini elde ettim, ve onları çarparak tek bir $E$ matrisi elde edebilirim, vs. Fakat bunu yapmak istemiyorum. Aslında ters yönde gitmek istiyorum, yani $A$'dan $U$ ya gitmek yerine, $U$'dan $A$'ya gitmek istiyorum. Bunun için bana $E$'nin tersi lazım. Şimdiye kadar tahtada gördüğünüz tüm matrislerin tersi var bu arada, yani iyi huylu matris hepsi.

Ters Alma Operasyonu

Üstteki eliminasyon matrislerinden birini hatırlayalım,

$$ E_{21} = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Öyle bir matris istiyorum ki bu matrisi nötralize etsin. Yani onun etkisini yoketsin. Hangi matris bunu başarır? Hangi matris, eliminasyon matrisini soldan çarpınca bana birim matrisini verir (öyle ya nötralize etmek bu demektir, birim matrisi haline getirmek).

$$ \left[\begin{array}{rrr} & & \\ & & \\ & & \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Bunun için eliminasyon matrisin ne yaptığını hatırlayalım; 1. satırı 3 ile çarpıp 2. satırdan çıkartıyordu. Bu işlemin tersi nedir? 1. satırı 3 ile çarpıp toplamak! Bunu yapınca bir önceki işlemi nötralize etmiş oluruz değil mi? Yani,

$$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Notasyonel olarak $E^{-1}$ kullanılır, yani üstteki ifade $E^{-1}E = I$ olur.