dersblog



Ders 6

Hilbert Uzayları

Giriş

Her lise geometri öğrencisi bir noktadan bir çizgiye olan en kısa mesafenin o çizgiye dik olan ikinci bir çizgiden geçtiğini bilir. Kabaca da hemen görülebilecek akla yatkın bu basit sonuç, noktadan düzleme olan mesafeler için de kolayca genelleştirilebilir. Daha da ileri gidip n-boyutlu Öklit uzaylarına genellemek gerekirse, bir noktadan bir altuzaya gidecek en kısa vektör o altuzaya dikgen (orthogonal) olmalıdır. Bu arada, bu son sonuç en kuvvetli, önemli optimizasyon prensiplerinin biri olan Yansıtma Teorisi'nin özel şartlarından biridir.

Bu gözlemde kritik püf nokta dikgenliktir. Dikgenlik kavramı genel olarak norm edilmiş uzaylarda mevcut değildir, ama Hilbert Uzaylarında mevcuttur. Hilbert Uzayı norm edilmiş uzayların özel bir halidir, norm edilmiş uzaylardaki özelliklere ek olarak bir de içsel çarpım (inner product) işlemi tanımlar, bu işlem analitik geometrideki iki vektörün noktasal çarpımına (dot product) eşdeğerdir, iki vektörün içsel çarpımı sıfır ise o vektörlerin dikgen olduğu söylenebilir.

İçsel çarpım ile kuşanmış Hilbert Uzayları iki ve üç boyutlardaki geometrik buluşları genellememizi sağlayacak yapısal bir cevher sağlar bize, sonuç olarak pek çok analitik çözümün Hilbert Uzaylarında karşılığı vardır; Ortonormal bazlar, Fourier Serileri, en az kareler minimizasyonu gibi kavramlarının hepsi Hilbert Uzayında da kullanılabilirler.

Ön-Hilbert Uzayları (Pre-Hilbert Spaces)

Ön-Hilbert Uzayı bir lineer vektör uzayı $X$ ile, $X \times X$ üzerinde tanımlanmış bir iç çarpım işleminin beraberliğidir. Yani $X$'teki her elemanın bir diğeri (ve kendisi) ile eşleşmesi üzerinde tanımlı bir iç çarpım işlemi vardır, ki bu işlem $x,y \in X$, $(x|y)$ olarak gösterilir, ve çarpımın sonucu bir skalar (mesela bir tek sayı) olacaktır.

$\sqrt{ (x|x)}$ büyüklüğü $||x||$ olarak gösterilir, norm operatörü tanıdık geldi herhalde, zaten birazdan yapacağımız ilk işlerden biri bu büyüklüğün hakikaten bir norma eşit olduğunu göstermek.

Önşartlar

  1. $(x|y) = \overline{(y|x)}$

  2. $(x+y|z) = (x|z) + (y|z)$

  3. $(\lambda x|y) = \lambda(x|y)$

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği

Bir iç çarpım uzayında (inner product space)r $x,y$ için $|(x|y)| \le \|x\|\|y\|$ olmalı. Bu küçüktür ya da eşittir ifadesindeki eşitlik kısmı sadece $x = \lambda y$ ise, ya da $y = \theta$ ise doğru.

İspat

$y = \theta$ için eşitlik kısmı basitçe doğrulanabilir. O zaman diğer şartları kontrol etmek için $y \ne \theta$ alalım. Bir skalar olan her $\lambda$ değeri için

$$ 0 \le (x-\lambda y | x-\lambda y) $$

Belirlenen şartlara göre bu eşitsizlik doğru olmalı. Sadece doğru olduğunu bildiğimiz bir ifadeyi yazdık o kadar. Bir nevi oltayı attık, bekliyoruz. Sonra üstteki ifadeye 2. önşartı uyguluyoruz

$$ \le (x|x-\lambda y) - (\lambda y| x - \lambda y)$$

Bu iki terim üzerinde yine 2. önşartı ayrı ayrı kullanıyoruz

$$ \le (x|x) - (\lambda y|x) - \bigg[ (x|\lambda y) - (\lambda y|\lambda y) \bigg] $$

$$ \le (x|x) - (\lambda y|x) - (x|\lambda y) + (\lambda y|\lambda y) $$

İçinde $\lambda$ olan tüm terimler üzerinde 3. önşartı uyguluyoruz

$$ \le (x|x) - \lambda(y|x) - \lambda(x|y) + |\lambda|^2 (y|y) $$

Şimdi $\lambda = (x|y)/(y|y)$ farz ediyoruz. $\lambda$ her şey olabileceğine göre bu belirlediğimiz şey de olabilir. Yerine koyunca,

$$ \le (x|x) - \frac{ (x|y)(y|x)}{(y|y)} - \frac{ (x|y)(x|y)}{(y|y)} + \frac{ |(x|y)|^2}{|(y|y)|^2}(y|y) $$

  1. önşartı kullanarak üstteki üçüncü terimin işaretini değiştirelim

$$ \le (x|x) - \frac{ (x|y)(y|x)}{(y|y)} + \cancel{\frac{ (x|y)(y|x)}{(y|y)}} + \cancel{\frac{ |(x|y)|^2}{|(y|y)|^{\cancel{2}}}(y|y)} $$

$$ \le (x|x) - \frac{ |(x|y)|^2}{(y|y)} $$

Ya da

$$ |(x|y)| \le \sqrt{ (x|x)(y|y)} = ||x||||y||$$

$ \square $

Teori

Bir Ön-Hilbert uzayı $X$'te $||x|| = \sqrt{ (x|x)}$ bir normdur.

İspat

Norm için tüm tanımlar zaten ortaya çıktı, tek eksik üçgensel eşitsizlik tanımı. Herhangi bir $x,y \in X$ için

$$ ||x+y||^2 = (x+y|x+y) $$

$$ = (x|x+y) + (y|x+y) $$

$$ = (x|x) + (y|x) + (x|y) + (y|y) $$

$$ = (x|x) + 2|(x|y)| + (y|y) $$

Şimdi norm ifadesini kullanalım

$$ = ||x||^2 + 2|(x|y)| + ||y||^2 $$

Sağdan ikinci terimde Cauchy-Schwarz teorisini uygulayalım

$$ \le ||x||^2 + 2||x||||y|| + ||y||^2 $$

İşaretin eşitlikten eşitsizliğe döndüğüne dikkat. $||x||||y||$ kullanarak $(x|y)$'tan daha büyük olan bir büyüklük kullanmaya başlamış olduk, bu yüzden eşitliğin sağ tarafı, sol tarafından büyük hale geldi. Gruplarsak

$$ \le (||x||+||y||)^2 $$

Yani

$$ ||x+y||^2 \le (||x||+||y||)^2 $$

Karekök alırsak

$$ ||x+y|| \le ||x||+||y|| $$

Bu üçgensel eşitsizliğin ta kendisidir.

$ \square $

Tanım

Tam olan bir Ön-Hilbert uzayı Hilbert Uzayı olarak adlandırılır.

Hilbert Uzayı o zaman normu etkileyen / belirleyenbir iç çarpım işlemi tanımlamış bir Banach uzayıdır. $E^n,l_2,L_2[a,b]$ uzaylarının hepsi Hilbert uzaylarıdır. İç çarpımlar bu arada altta gösterilen süreklilik özelliğine sahiptir.

Teori

İç Çarpımların Sürekliliği: Diyelim ki bir Ön-Hilbert uzayında $x_n \to x$ ve $y_n \to y$. O zaman $(x_n|y_n) \to (x|y)$.

İspat

${x_n}$ serisi yakınsayan olduğuna göre, sınırlı (bounded) olmak zorundadır; mesela diyelim ki $||x_n|| \le M$. Şimdi,

$$ |(x_n|y_n) - (x|y)| $$

hesabını yapalım. İfadenin içine $(x_n|y)$ artı ve eksi işaretleriyle koyalım,

$$ = |(x_n|y_n) - (x_n|y) + (x_n|y) + (x|y)| $$

Üstteki ilk ve son iki terimi gruplayalım, 2. önşartı tersten uyguluyoruz yani,

$$ = |(x_n|y_n-y) + (y|x_n-x)| $$

Üstteki mutlak değeri ortasından parçalayacağız. Ufak not, mutlak değer operasyonu için de üçgensel eşitsizlik geçerlidir, yani

$$ |a+b| \le |a| + |b| $$

O zaman

$$ \le |(x_n|y_n-y)| + |(y|x_n-x)| $$

Her iki terim üzerinde ayrı ayrı Cauchy-Schwarz eşitsizliğini uygularsak,

$$ \le ||x_n|||y_n-y)|| + ||y||||x_n-x|| $$

$||x_n||$ sınırlı olduğuna göre,

$$ |(x_n|y_n) - (x|y)| \le M||y_n-y)|| + ||y||||x_n-x|| \to 0 $$

Eşitsizliğin sağı sıfıra gidiyor, çünkü $M$ sabit, ispatın başında $x_n \to x$ ve $y_n \to y$ farzettik, o zaman üstteki farklar sıfıra gider.

$\square$


Yukarı