Ders 4
Dışbükeylik (Convexity) ve Koniler (Cones)
Bir lineer vektör uzayındaki $K$ kümesi dişbukeydir (convex), eğer $x_1,x_2 \in K$ için $\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2$, $0 \le \alpha \le 1$ formundaki tüm noktalar da $K$ içinde ise.
Matematiksel olarak $\alpha,1-\alpha$ ile yapılmaya uğraşılan $x_1,x_2$ "arasındaki" bir noktayı temsil etmek. Eğer $0 \le \alpha \le 1$ ise, $x_1,x_2$'yi sırasıyla $\alpha,1-\alpha$ ile çarpıp sonuçları toplamak "biraz $x_1$'den, biraz $x_2$'den almak" anlamına geliyor, bu da tanım itibariyle her zaman $x_1,x_2$ arasında bir yerde olmaktır. $\alpha$ 0 ile 1 arasındadır, yani bir nevi yüzde hesabı yapılıyor, 0.2 oradan, 0.8 şuradan alınıyor. Hesabın bir tür yüzde hesabı olması sebebiyle iki nokta arasında kalınması garanti edilmiş oluyor.
Ve eğer bu "arada olmak" denklemi, kümedeki her noktanın her diğer noktayla arasındaki, yani her $\alpha$ için hesaplanacak noktalar için de doğru ise, o zaman hep aynı kümedeyi, "dışarı çıkmıyoruz" demektir ve bu dişbukeyliğin tanımıdır. Görsel olarak ta kabaca bunu görmek mümkündür, dişbukey bir cisimde bir noktadan diğerine düz çizgide giderken hep cisim içinde kalırız.
Teori
$K,G$ bir vektör uzayında dışbükey olan iki küme olsun. O zaman
1) $\alpha K = {x: x = \alpha k, k \in K}$ her $\alpha$ için dışbükeydir.
2) $K+G$ dışbükeydir.
İspatlamadan bunun daha genel bir hali olan başka bir teoriye bakalım, onu ispatlarsak üsttekini de ispatlamış olacağız.
Teori
$\mathscr{C}$, içindeki tüm kümeleri dışbükey olan rasgele bir buket olsun. O zaman $\cap_{K \in \mathscr{C}}K$ aynı şekilde dişbukeydir.
Ispat
Diyelim ki $C = \cap_{K \in \mathscr{C}}K$. Eğer $C$ boş ise, teori hemen ispatlamıştır. Diğer şartlar için, farzedelim ki $x_1,x_2 \in C$. O zaman $x_1,x_2 \in K$ demektir, çünkü $C$ bir kesişim, yani tüm $K \in \mathscr{C}$ içindeki aynı olan öğelerden müteşekkil. Her $K$'nin kendi başına dışbükey olduğunu bildiğimize göre, o zaman $C$ de dışbükey demektir.
$ \square $
Fonksiyonlarda Norm, İçsel Çarpım (Dot Product)
Bu kavramları lineer cebirde pek çok kez duyuyoruz. Mesela iki vektör $a,b$ için onların içsel çarpımı $a \cdot b$, her iki vektörün tekabül eden öğelerinin çarpımı ve bu sonuçların toplamı demektir. $a = [a_1,a_2,..]$ ve $b = [b_1,b_2,...]$ ise içsel çarpım,
$$ a \cdot b = \sum_{i=1}^{N} a_i b_i $$
İç çarpımın sürekli ortamda olan fonksiyonlar için de bir karşılığı var. Eğer bir vektörü bir fonksiyonun belli aralıklardan seçilmiş ayrıksal değerleri içeren bir şey olarak düşünürsek, fonksiyon bir anlamda sonsuz değerdeki bir vektördür. O zaman, elimizde $f(x)$ ve $g(x)$ var diyelim, bu "sonsuz vektörlerin" tekabül eden değerlerinin çarpılıp toplanması nasıl yapılır? Entegral ile! O zaman $f,g$ arasındaki içsel çarpım [1, sf. 183],
$$ \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x $$
ki $a,b$ uygun secilde seçilmiş alt ve üst sınırlar olacaktır.
Devam edersek, vektör normunu hatırlarsak, norm vektörün kendisiyle noktasal çarpımıdır. O zaman fonksiyon için norm üstte gördüğümüz yeni yaklaşımı kullanabilir, uzunluk aynı şekilde, mesela fonksiyon uzunluğu için $||f||$
$$ ||f||^2 = \int_{a}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d} x $$
Mesela $0,2\pi$ arasında $\sin x$ uzunluğu
$$ ||f||^2 = \int_{0}^{2\pi} (\sin x)^2 \mathrm{d} x = \pi $$
Vektör dikgenliği ile fonksiyon dikgenliği yine aynı altyapıyı kullanacak, iki vektörün dik olup olmadığını $a \cdot b$ sonucunun sıfır olup olmadığı ile anlayabiliyorduk. Fonksiyon dikgenliği için entegral bazlı içsel çarpımı kullanacağız, mesela $\cos x$ ile $\sin x$ dik midir?
$$ \int_{0}^{2\pi} \sin x \cos x \mathrm{d} x = 0 $$
Bu fonksiyonlar dikmiş demek ki.
Not: Birbirine dikgen olan fonksiyonlar, "bazlar", Fourier serileri, ve pek çok diğer hesapsal bilim yaklaşımında önemli bir rol oynarlar.
Norm Edilmiş Lineer Uzaylar
Soyut Analiz ve uygulamalarda ilgilenilen vektör uzaylarının 7 önşarttan daha fazlasına ihtiyacı vardır. 7 önşart vektör uzaylarının sadece cebirsel özelliklerini tanımlar: toplam, skalar çarpım, ve bunların değişik kombinasyonları. Eksik olanlar topolojik olan özelliklerdir, yani açıklık (openness), kapalılık (closure), yakınsaklık (convergence), ve bütünlük (completeness). Eğer uzayın içinde uzaklık ölçümü tanımlanır ise, bu kavramlar kullanılabilir.
Tanım
Norm edilmiş bir lineer uzay $X$ adındaki bir vektör uzayıdır, ki $X$ içindeki her $x$ öğesini bir reel sayı $||x||$'e eşleyen bir fonksiyon vardır, ve $||x||$'e $x$'in norm'ü adı verilir. Norm şu önşartları yerine getirmelidir.
1) $||x|| > 0$, her $x \in X$ için, ve $||x|| = 0$, sadece ve sadece $x = \theta$ ise.
2) $||x+y|| \le ||x|| + ||y||$ her $x,y \in X$ için (üçgensel eşitsizlik)
3) $||\alpha x|| = |\alpha| \ ||x||$, her skalar $\alpha$ ve her $x \in X$ için.
Norm kavramı uzaklık kavramının soyutlaştırılmış bir halinden ibaret aslında. Reel analizdeki üçgensel eşitsizliğin karşılığı burada da görülüyor mesela. Neyse, devam edelim, üstteki üçgensel eşitsizlik kuralının bir uzantısı / sonucu (lemma) şu:
Teori
Norm edilmiş bir lineer uzayda
$$ ||x|| - ||y|| \le ||x-y|| \qquad (1) $$
İspat
$$ ||x|| - ||y|| = ||x - y + y|| - ||y||$$
Üstte adece $||x||$ içine $-y+y$ ekliyoruz, yani aslında hiçbir şey değiştirmedik. Şimdi eşitliğin sağındaki ilk terimi alıp ona üçgensel eşitliği uygularsak (norm içindeki $+$ işareti solu ve sağındaki grupları ayrı terimler olarak kabul etmemiz gerekir)
$$ ||x - y + y|| - ||y|| \le ||x - y || + ||y|| - ||y|| $$
elde ederiz. Biraz daha basitleştirince
$$ ||x|| - ||y|| \le ||x - y || $$
$\square$
Uygun bir norm bulunabilirse, daha önce gösterdiğimiz vektör uzayı örneklerinin çoğunluğu norm edilebilen uzaya dönüştürülebilir.
Örnek 1
$C[a,b]$ adı verilen norm edilmiş uzay, $[a,b]$ reel aralığı, artı norm
$$ ||x|| = \max_{a \le t \le b} |x(t)| $$
tanımından oluşur. Hatırlarsak bu uzay daha önce bir vektör uzayı olarak gösterilmişti. Norm $[a,b]$ aralığına bakıyor, her $x(t)$ için mutlak değeri (absolute value) en yüksek olan değeri alıp onu norm değeri ilan ediyor. Fonksiyon bir parabol ise, parabolun tepe noktası o fonksiyon için norm kabul edilecek.
Şimdi teklif edilen norm'un 3 gerekli önşartı yerine getirip getirmediğine bakalım. Bariz ki $||x|| \ge 0$ çünkü norm kesin değer kullandık ve kesin değerler hep sıfırdan büyük, ayrıca $||x||$ sıfır olması için $x(t)$'nin her yerde sıfır olması lazım, fonksiyon tek bir noktada sıfırdan azıcık daha büyük olsaydı, $max$ hemen onu norm kabul ederdi. Üçgensel eşitsizlik alttaki ilişkinin bir uzantısı zaten
$$ \max |x(t) + y(t)| \le \max [|x(t)| + |y(t)|] \le \max |x(t)| + max |y(t)| $$
Üstteki eşitsizlikler maksimum fonksiyonun özellikleri, ve bu özellikler onun üçgensel eşitsizliği de yerine getirmesini sağlıyor.
En son olarak 3. önşart alttaki ilişkinin doğal sonucu olarak yerine getirilmiş oluyor
$$ \max |\alpha x(t)| = \max |\alpha||x(t)| = |\alpha| \max |x(t)| $$
Örnek
$[a,b]$ aralığında tanımlı tüm sürekli fonksiyonların uzayı alttaki norm üzerinden bir norm edilmiş uzaydır
$$ ||x|| = \int_{ a}^{b} |x(t)| \mathrm{d} t $$
Dikkat, bu norm edilmiş uzay $C[a,b]$'den farklıdır.
Örnek
Öklitsel n-uzayı ki $E^n$ olarak temsil edilir, ve norm'u $x = { \xi_1, \xi_2, .., \xi_n}$ için $||x|| = (\sum_{ i=1}^{n} |\xi_i|^2)^{1/2}$, bir norm edilmiş uzaydır.
Yakınsaklık (Convergence)
Çoğu zaman, istenen bir özelliğe sahip olan bir vektörün varlığını ispat ederken belli bir limite yaklaşan bir vektör dizisi yaratmak yaygın bir tekniktir. Çoğu zaman bu limitin istenen özelliğe sahip olduğu gösterilebilir. Bu sebeple yakınsaklık kavramı Analizde çok önemli rol oynayan bir kavramdır.
Tanım
Norm edilmiş bir lineer uzayda sonsuz sayıda vektör içeren bir dizi ${x_n}$'in $x$'e yaklaştığı söylenir eğer ${||x_n-x||}$ reel sayılar dizisi sıfıra yaklaşıyorsa. Bu durumda $x_n \to x$ diyebiliriz.
Eğer $x_n \to x$, $||x_n|| \to ||x||$ olmalı, çünkü (1)'e göre
$$ ||x_n|| - ||x|| \le ||x_n-x|| $$
ya da, terimlerin yeri değiştirilmiş halde
$$ ||x|| - ||x_n|| \le ||x-x_n|| $$
O zaman
$$ \bigg| ||x|| - ||x_n|| \bigg| \le ||x-x_n|| \to 0$$
olmalıdır.
Teori
Eğer bir dizi yaklaşıyorsa, limiti özgündür (unique).
İspat
Diyelim ki $x_n \to x$ ve $x_n \to y$, yani $x_n$ apayrı iki limite yaklaşıyor (gibi) bir şey ortaya attık. Peki o zaman $||x-y||$ ne olur? Göreceğiz ki bu norm sıfıra gidecek ve bu sebeple $x,y$'nin birbirinden farklı olamayacağını anlamış olacağız.
$$ ||x-y|| = ||x-x_n + x_n-y|| $$
Üstte yine aynı numarayı kullandık, $-x_n+x_n$ ekleyerek eşitlikte hiçbir şey değiştirmiyoruz, ama daha fazla terim elde ederek şimdi üçgensel eşitsizliği kullanabileceğiz. $+$ işaretinin solundaki ve sağındaki blokları ayrı terimler gibi kabul edersek,
$$ ||x-x_n + x_n-y|| \le ||x-x_n || + ||x_n-y|| $$
ve
$$ ||x-x_n || \to 0 $$
$$ ||x_n-y|| \to 0$$
olduğuna göre
$$ ||x-y|| \to 0 $$
$\square$
Kaynaklar
[1] Strang, Lineer Algebra and Its Applications
Yukarı