Ders 1.4, Soru, Cevap
Sorular
Soru 1.2.2
$u"(x) = \delta(x)$, $u(-2) = 0$ ve $u(3) = 0$ problemini çöz. Parçalar $u = A(x+2)$ ve $u=B(x-3)$ $x=0$ noktasında birleşiyor. $U = (u(-1), u(0), u(1), u(2))$ vektörünün $KU=F=(0,1,0,0)$ problemini çözdüğünü göster.
Çözüm
Yukarıda çözümün hangi formda olacağı $A$ ve $B$ üzerinden verilmiş, burada güzel bir numara var (alternatif çözümde bunu anlattık), fakat biz önce derste daha gösterilen yöntem üzerinden çözümü kendimiz bulalım.
Özel (particular) çözüm nedir?
$$ u(x) = -R(x) + C + Dx$$
Bildiğimiz gibi $R(x)$ rampa fonksiyonu şöyle:
$$ R(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x \le 0 \\ x & x \ge 0 \end{array} \right. $$
Şimdi sınır şartlarını kullanarak $u(x)$ içinde yerine koyalım:
$$ u(-2) = -R(x) + C - 2D = 0 $$
$$ u(-2) = C - 2D = 0 $$
$x=-2$ yani sıfırdan küçük olduğu için $-R(x)=0$ oldu ve onu formülden attık.
$$ u(3) = -3 + 3D + C = 0 $$
Burada $x=3$, o yüzden $-R(3) = -3$ kullanıldı. Sonuç
$$ C = 2D $$
$$ 3 + 3D + 2D = 0 $$
$$ 5D - 3 = 0 $$
$$ D = \frac{3}{5} $$
O zaman
$$ C - 2(\frac{3}{5}) = 0 $$
$$ C = \frac{6}{5} $$
Sıfırdan öncesi ve sonrası için (değişik $R(x)$ durumlarına göre) fonksiyonu parçalı bir şekilde yazarsak
$$ u(x) = \left\{ \begin{array}{ll} & \\ \frac{6}{5} + \frac{3}{5}x & x \le 0 \\ & \\ -x + \frac{6}{5} + \frac{3}{5}x = \frac{6}{5} - \frac{2}{5}x & x \ge 0 \\ & \end{array} \right. $$
Birinci kısmı sadeleştirirsek
$$ \frac{6}{5} + \frac{3}{5}x = \frac{3}{5}(x + 2) $$
İkinci kısmı sadeleştirirsek
$$ \frac{6}{5} - \frac{2}{5}x = -\frac{2}{5}(x - 3)$$
Problemin hazır verdiği forma, ve sonuca eriştik.
import scipy.linalg as lin
def ktbc(n):
vec = np.zeros((1,n))
vec[0,0] = 2
vec[0,1] = -1
K = lin.toeplitz(vec)
T = np.copy(K)
T[0,0] = 1
B = np.copy(K)
B[0,0] = 1
B[n-1,n-1] = 1
C = np.copy(K)
C[n-1,n-1] = 1
return K, T, B, C
K,T,B,C = ktbc(4)
print lin.inv(K)
[[ 0.8 0.6 0.4 0.2]
[ 0.6 1.2 0.8 0.4]
[ 0.4 0.8 1.2 0.6]
[ 0.2 0.4 0.6 0.8]]
Bir sonraki derste göreceğimiz gibi üstteki sonucun 2. kolonu aradığımız sonuç (çünkü delta ağırlığı 2. hücre üzerinde). Bu kolondaki değerleri teker teker $x=-1,0,1,2$ değerlerini $u(x)$'i hesaplayarak kontrol edelim.
$$ 6/5 + 3/5(-1) = 3/5 = 0.6 $$
$$ 6/5 + 3/5(0) = 6/5 = 1.2 $$
$$ 6/5 -2/5(1) = 4/5 = 0.8 $$
$$ 6/5 -2/5(2) = 2/5 = 0.4 $$
Sonuçlar birebir uyuyor.
Alternatif Çözüm
Problemin cebirsel çözümü için bir yöntem daha var, hatta ders notlarındaki 1.2.2 çözümü bu yöntemi kullanıyor.
$u(x)$'in formunun lineer olacağını bildiğimizden, ve bu formül içinde bir rampa fonksiyonu olmasından hareketle, çözümün iki lineer parça içerdiğini ve bu parçaların 0 noktasında birleştiğini farzedebiliriz. Şöyle iki fonksiyon buluruz: $A(x+2)$ ve $B(x-3)$. Bu her iki fonksiyonun -2 ve +3 noktalarında sıfır olduğuna dikkat, ki bu diferansiyel denklemin sınır şartları ile uyumlu.
Şimdi alttaki numaralara bakalım, tek bir integral, ve tek bir türev alarak çok daha basit cebirsel ifadelerle çalışma imkanı var. İki tarafın entegrali:
$$ -\int u"(x) = \int \delta(x) $$
$$ -[u'(x)]_L^R = 1 $$
R ve L sağ (right) ve sol (left) ibareleri, delta fonksiyonunun yoğunluk yarattığı noktanın sağındaki ve solundaki herhangi birer nokta için kullanılıyor, delta fonksiyonunun entegralini alırken bu noktanın "üzerinden geçersek" sonuç her zaman 1 verecektir. O noktaların tam olarak ne olduğu önemli değil, çünkü $x=0$ solunda ve solunda eğim her noktada aynı.
$$ u_R'(x) - u_L'(x) = -1 $$
Üstteki türevleri formlara uygularız
$$ B - A = -1 $$
İki parça $x=0$ noktasında birleşiyor, o zaman
$$ A(0+2) = B(0-3) $$
$$ A = -\frac{3}{2}B $$
Birleştirince
$$ B - (-3/2 B ) = -1 $$
$$ B = -0.4 $$
$$ A = 0.6 $$
Soru 1.2.4
$$ T_n = (geri)(-ileri) = \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & & \\ -1 & 1 & 0 & \\ & \ddots & \ddots & 0 \\ & & -1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & & \\ 0 & 1 & -1 & \\ & \ddots & \ddots & -1 \\ & & 0 & 1 \end{array}\right] \qquad (1) $$
$$ T_n^{-1} = \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & \ddots & 1 \\ & 1 & 1 & \ddots \\ & & 1 & 1 \\ & & & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrrr} 1 & & & \\ 1 & 1 & & \\ \ddots & 1 & 1 & \\ 1 & \ddots & 1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right] \qquad (2) $$
(1)'deki geriye doğru farklar matrisi $\Delta_{-}$ tersinin (2)'deki toplamlar matrisi olduğunu kontrol edin. Dikkat: $\Delta_0 = (\Delta_{+} + \Delta_{-}) / 2$ ifadesinin tersi olmayabilir! $\Delta_0 u = 0$ denklemini $n=3$ ve $n=5$ için çözün.
import scipy.linalg as lin
DB = lin.toeplitz([1, -1, 0], [1, 0, 0])
print DB; print lin.inv(DB)
DF = lin.toeplitz([-1, 0, 0], [-1, 1, 0])
D_0 = (DF + DB) / 2
print D_0
[[ 1 0 0]
[-1 1 0]
[ 0 -1 1]]
[[ 1. 0. 0.]
[ 1. 1. 0.]
[ 1. 1. 1.]]
[[ 0 0 0]
[-1 0 0]
[ 0 -1 0]]
D_0 matrisini soruda istendiği şekilde yarattık. Bu matrisin sıfır
uzayı, yani D_0 u = 0 denklemindeki $u$ sıfır olmadığı için, bu
matris tersine çevirilemez demektir, yani matris eşsiz (singular)
demektir.
Soru 1.2.10
- denklemden bahsediliyor, bu yanlış. Sorunun istediğini kodlamak daha
iyi: $\Delta_+$ için
DFve $\Delta_-$ yerineDBkullanıp, çarpımını alırsak,
import scipy.linalg as lin
DB = lin.toeplitz([1, -1, 0], [1, 0, 0])
print "backward"
print DB
DF = lin.toeplitz([-1, 0, 0], [-1, 1, 0])
print "forward"
print DF
print 'product'
print np.dot(DF, DB)
backward
[[ 1 0 0]
[-1 1 0]
[ 0 -1 1]]
forward
[[-1 1 0]
[ 0 -1 1]
[ 0 0 -1]]
product
[[-2 1 0]
[ 1 -2 1]
[ 0 1 -1]]
Bu matriste $u = 0$ sınır şartının hangi satır ile temsil edildiği soruluyor, yani $u(..) = 0$ şartında '..' neresi? Bu şart için sol taraftaki kolonun atıldığını hayal edelim, geriye kalanlar üst 1. satırı [-2 1] üzerinden $u(0)=0$ şartını zorlar. Doğru cevap 1. satır.
Peki $u'(..) = 0$ şartı hangi satırla, yani hangi '..' değeriyle zorlanır? En alt satır gibi duruyor, kontrol edelim,
$$ \frac{u_4-u_3}{h} = 0$$
o zaman
$$ u_4 = u_3 $$
Matrisin en son satırını cebirsel şekilde yazalım
$$ \frac{u_4 - 2u_3 + u_2}{h} $$
$u_4 = u_3$ olduğu için
$$ = \frac{u_3 - 2u_3 + u_2}{h} $$
$$ = \frac{-u_3 + u_2}{h} $$
Son ifade matrisin sonuncu satırını aynen tarif ediyor.
Soru 1.2.19
Bir merkezi farksal yaklaşıksallama (difference approximation) kur, bunu yaparken $K/h^2$ ve $\Delta_0 / 2h$ kullan, tüm bunları
$$ -u" + u' = 0. $$
çözmek için kullan, ki $u(0) = 0$ ve $u(1) = 0$. Ayrı olarak $du/dx$ için öne doğru farksal (forward difference) $\Delta_{+}U/h$ kullan. Dikkat edelim $\Delta_0 = (\Delta_{+} + \Delta_{-}) / 2$. Ortalanmış $u$ ve ortalanmamış $U$'yu çözelim, ki $h = 1/5$ olsun. Gerçek $u(x)$ $u=x$ özel çözümüdür ve bu çözüme $A+Be^x$ eklenir. Hangi $A$ ve $B$ sınır şartlarını tatmin eder? $u$ ve $U$ ne kadar $u(x)$'e yakındır?
Cebirsel olarak bu denklemi çözmek için onun sabit katsayılı, 2. seviye (homojen olmayan -sıfıra eşit değil-) denklem olduğunu görmek yeterli. Önce ana denklemle bağlantılı homojen denklemi (sıfıra eşitlenmiş halini yani) çözeriz.
$$ -u" + u' = 0. $$
Bu denklemi çözmek için karakteristik denklemini buluruz, bkz [2]. Bu denklem $-r^2 + r = 0$ olacaktır, kökleri $0$ ve $1$, o zaman homojen denklemin çözüm yelpazesini $e^{0x}=1$ ve $e^{x}$ tanımlar. Genel çözüm demek ki
$$ \mathbf{s} + A + Be^x $$
olur, ki $A$ ve $B$ rasgele sabitlerdir, ve $\mathbf{s}$, $-u"+u'=1$ denkleminin özel (particular) bir çözümüdür. $u(x)=x$'in bu özel çözüm olduğunu bulmak zor değildir, o zaman çözümün tamamı
$$ u(x) = x + A + Be^x $$
olacaktır.
$$ u(0) = A + B = 0 $$
$$ A = -B $$
$$ u(1) = 1 + -B + Be^1 = 0$$
$$ B = \frac{1}{1-e} $$
$$ A = \frac{-1}{1-e} $$
Denklemin tam çözümü
$$ u(x) = x - \frac{1}{1-e} + \frac{1}{1-e}e^x $$
import scipy.linalg as lin
K,T,B,C = ktbc(4); print K
C = lin.toeplitz([0, -1, 0, 0], [0, 1, 0, 0]); print C
print "ortalanmis", lin.solve((25*K + 2.5*C), [1.,1.,1.,1.])
F = lin.toeplitz([-1, 0, 0, 0], [-1, 1, 0, 0]); print F
print "ileri farklilik", lin.solve((25*K + 2.5*F), [1.,1.,1.,1.])
def ux(x): return x - 1/(1-np.e) + np.e**x/(1-np.e)
print ux(0.2), ux(0.4), ux(0.6), ux(0.8)
[[ 2. -1. 0. 0.]
[-1. 2. -1. 0.]
[ 0. -1. 2. -1.]
[ 0. 0. -1. 2.]]
[[ 0 1 0 0]
[-1 0 1 0]
[ 0 -1 0 1]
[ 0 0 -1 0]]
ortalanmis [ 0.07135546 0.11412325 0.12195055 0.0870728 ]
[[-1 1 0 0]
[ 0 -1 1 0]
[ 0 0 -1 1]
[ 0 0 0 -1]]
ileri farklilik [ 0.07956826 0.123533 0.12793827 0.08838856]
0.0711487519142 0.11376948211 0.121546007893 0.0867637263024
Bu çözümlerden ortalanmış olanın daha iyi olduğunu görebiliriz.
Soru 1.2.21
$u(h) = u(0) + hu'(0) + \frac{1}{2}h^2u"(0)+..$ açılımını ve "sıfır eğim koşulu" yani $u'(0) = 0$ olarak belirtilen sınır şartını ve $-u" = f(x)$ ifadesini kullanarak $u_0 - u_1 = \frac{1}{2}h^2f(0)$ şeklinde üst sınır şartını türet. $\frac{1}{2}$ faktörü $O(h)$ hatasından kurtulmamıza yarayacak.
Öncelikle türetmemiz istenen şeyin 2. Ders Problem 1.2 A'da kullanılan ifade ile aynı olduğunu görelim. O problemde $u_0 - u_1 = \frac{1}{2}h^2f(0)$ ifadesine farklı bir yönden erişmiştik, orada ortalama farklılık tekniğini kullanmıştık. Burada Taylor açılımını kullanıyoruz, ve aynı noktaya geliyoruz!
$u(0)$ noktasındayız, ve ileri doğru $h$ adımı atıyoruz, bu adımı Taylor açılımı ile nasıl gösteririz?
$$ u(h) = u(0) + h \cdot u'(0) + \frac{1}{2}h^2u"(0) + ... $$
Değil mi? Şimdi, elimizde diferansiyel denklemin tanımından gelen bazı tanımları kullanarak üstteki denklemi değiştirelim. $-u"(x) = f(x)$ ise, $u"(0) = -f(0)$ demektir. Ayrıca $u'(0) = 0$ ise $h \cdot u'(0)$ denklemden atılabilir. Noktadan sonrasını biz atıyoruz, yaklaşıksal olarak temsil ettiğimiz için, o zaman
$$ u(h) = u(0) - \frac{1}{2}h^2f(0) $$
$$ u_1 - u_0 = -\frac{1}{2}h^2f(0)$$
$$ u_0 - u_1 = \frac{1}{2}h^2f(0) $$
Ve Çözülmüş Problem 1.2 A'daki tanımın aynısına eriştik.
Problem 1.4.5
$-u"= \delta(x-a)$ denkleminin serbest-serbest şartları, yani $u'(0) = 0$ ve $u'(1) = 0$ üzerinden çözümü olamayacağını göster, bu durumda $C$ ve $D$ sabitleri bulunamayacak.
Çözüm
Tam çözüm neydi?
$$ u(x) = R(x-a) + Cx + D $$
Eldeki şartlar sadece $u'(x)$ için olduğuna göre üstteki denklemin türevini alalım, ve 0 ve 1 değerlerini yerine koyarak ele geçen sonuca bakalım.
$$ u'(0) = 0 + C = 0 $$
Rampa fonksiyonunun türevi basamak fonksiyonu, fakat o noktada daha basamak başlamamış (yani sıfır seviyesinde). Aslında soruda $a > 0$ bilgisini verseler iyi olurdu, her neyse, bu sebeple ilk terim 0. $Cx$'den geriye $C$ kalır, $D$ yokolur.
$$ C = 0 $$
Diğer koşulla
$$ u'(1) = -1 + C + 0 = 0 $$
Bu noktada basamak başlamış, çünkü $a$ noktası ilerisindeyiz, basamak fonksiyonu 1 değerinde, negatifi alındığı için sonuç -1. Devam edersek:
$$ C = 1 $$
Bu bir absürtluk ortaya çıkartı, $C$'nin hem 0 hem 1 olması mümkün değildir. Demek ki serbest-serbest probleminin çözümü yoktur.
Teori
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)g(x) \mathrm{d} x = g(0)$$
İspat
$\delta(x)=0$ $x \ne 0$ için sıfır olduğuna göre, entegrasyon operasyonunun tek kullanabileceği değer $g(0)$ değeridir (çünkü diğer her yerde iç çarpım sıfır), ki bu değer de bir sabit olarak addedilebilir ve entegralin dışına çıkartılır [1, sf. 416]. Yani
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)g(x) \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)g(a) \mathrm{d} x = g(a) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \mathrm{d} x = g(a) \cdot 1 = g(a) $$
Alternatif İspat
Parçalı entegral yöntemini uygularsak,
$$ \int u \mathrm{d} v = uv - \int v \mathrm{d} u $$
$$ u = g(x), \quad \mathrm{d} v = \delta(x) \mathrm{d} x $$
$$ \int_{-A}^{A} g(x)\delta(x) \mathrm{d} x = g(x)u(x) \bigg]_{-A}^{A} - \int_{-A}^{A} u(x) \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}\mathrm{d} x $$
$-A$ ve $A$ entegral sınırları sıfırı ortalayacak şekilde seçilmiş iki değerdir, $A$ herhangi bir sayı olabilir. $u(x)$ $\delta(x)$ fonksiyonunun entegrali olduğuna göre $x=0$ öncesi sıfır, sonrası 1 olacak. O zaman birinci kısım
$$ g(x)u(x) \bigg]_{-A}^{A} = g(x)u(x) \bigg]_{0}^{A} = g(A)\cdot 1 = g(A)$$
$x=0$ öncesi önemli değil çünkü orada $u(x) = 0$.
İkinci kısım
$$ \int_0^A 1\cdot \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}\mathrm{d} x = g(A) - g(0) $$
Biraraya koyarsak
$$ g(A) - (g(A) - g(0)) = g(A) - g(A) + g(0) = g(0) $$
İspat böylece tamamlanıyor.
Kaynaklar
[2] Bayramlı, Diferansiyel Denklemler, Ders 9
Yukarı